• Symétrique d’un polygone par une symétrie centrale
  • Symétrique d’un cercle par une symétrie centrale
  • Symétrique d’un angle par une symétrie centrale
  • Exercices résolus

1. Symétrique d’un polygone par une symétrie centrale

Nous avons déjà vu comment construire le symétrique d’un point par rapport au centre $O$, à la règle ou bien à la règle et au compas. Deux figures symétriques par rapport à un centre $O$ sont inversées et superposables.

Propriétés n°1. (Figure 1.)
$(P_4)$. Le symétrique d’un polygone $ABCDE$ par rapport à un centre $O$ est un polygone $A’B’C’D’E’$ inversé et superposable.

Pour construire le symétrique d’un d’un polygone $ABCDE$, il suffit de construire le symétrique de chacun des sommets $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ du polygone, puis relier pour obtenir un polygone $A’B’C’D’E’$ inversé et superposable.

Figure 1.
$A’B’C’D’E’$, symétrique d’un d’un polygone $ABCDE$ par rapport au centre $O$
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2. Symétrique d’un cercle par une symétrie centrale

Propriétés n°2. (Figure 2.)
$(P_6)$. Le symétrique d’un cercle de centre $A$ et de rayon $r$ par rapport à un centre $O$ est un cercle de centre $A’$, symétrique de $A$ et de même rayon $r$.

Pour construire le symétrique d’un cercle, on construit les symétriques du centre et d’un point du cercle. Puis on reconstruit un deuxième cercle de même rayon.

Figure 2.
Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon $r$.
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3. Symétrique d’un angle par une symétrie centrale

Propriétés n°3.
$(P_7)$. Le symétrique d’un angle $\widehat{xAy}$ par rapport à un centre $O$ est un angle $\widehat{x’A’y’}$ de même mesure. $\boxed{~\widehat{x’A’y’}=\widehat{xAy}~}~~\text{et}~~\boxed{~\widehat{B’A’C’}=\widehat{BAC}~}$$

Pour construire le symétrique d’un angle, on construit les symétriques du sommet de l’angle et d’un point sur chaque côté de l’angle… Puis on reconstruit un deuxième angle de même mesure avec ces points.

Figure 3.
$\widehat{x’A’y’}$ est le symétrique de $\widehat{xAy}$ par rapport au centre $O$
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4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Construire un rectangle $ABCD$ de largeur $AB=$3cm et de longueur $BC=5$cm. Placer un pont $E$ à l’intérieur du rectangle $ABCD$ et un point $F$ à l’extérieur du rectangle $ABCD$.
1°) Construire en rouge le symétrique du polygone $ABECD$ par rapport au point $E$.
1°) Construire en rouge le symétrique du polygone $ABECD$ par rapport au point $F$.

1°) $A’BEC’D$ est le symétrique de $ABECD$ par rapport à l’axe $(\Delta)$


CQFD.$\blacktriangle$

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