1. Distributivité simple

1.1. Exemples en géométrie

Exemple 1.
Dans la figure ci-dessous, on peut calculer l’aire du grand rectangle $ACDF$ de deux manières en posant $AF = k$, $AB=a$ et $BC=b$.

1ère méthode : La largeur du grand rectangle $ACDF$ est égale à : $AF = k$ et sa longueur est égale à : $AC = AB+BC=a+b$. Donc l’aire du grand rectangle $ACDF$ est bien égale à :
$${\mathscr A}= Largeur\times Longueur = k\times(a+b)$$

2ème méthode : L’aire du grand rectangle $ACDF$ est aussi égale à la somme des aires du petit rectangle $ABEF$ et du rectangle moyen $BCDE$. Ce qui donne :
$${\mathscr A}= k\times a + k\times b.$$
Les deux méthodes conduisent au même résultat. On obtient donc l’égalité algébrique pour tous nombres $a$, $b$ et $k$ : $$ \color{brown}{\boxed{\; k\times(a+b) = k\times a + k\times b\; }}\quad(1)$$
On dit que « la multiplication est distributive par rapport à l’addition »

Exemple 2.
Dans la figure suivante, on cherche à calculer l’aire du petit rectangle $ABEF$ de deux manières en posant $AF = k$, $AC=a$ et $BC=b$.

Un raisonnement analogue montre que pour tous nombres $a$, $b$ et $k$, on obtient une deuxième égalité :$$ \color{brown}{\boxed{\; k\times(a-b) = k\times a\, – k\times b\; }}\qquad(2)$$
On dit que « la multiplication est distributive par rapport à la soustraction ».

1.2. Propriété de distributivité simple

Propriété de distributivité simple
Pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, on multiplie chaque terme de la somme par ce nombre, puis on fait la somme (ou la différence) des deux résultats.
On a donc les égalités suivantes, pour tous nombres relatifs $a$, $b$ et $k$ :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{brown}{— Développement \longrightarrow }\\
&&\color{brown}{\boxed{\; k(a+b) = ka + kb\; }}\quad(1)\\
&&\color{brown}{\boxed{\; \; \; k(a-b) = ka\, – kb\; }}\quad(2)\\
&&\color{brown}{ \longleftarrow Factorisation — } \\
\end{array}$$

Définitions 1.
On dit que : la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Définitions 2.
La propriété de distributivité simple peut être lue dans les deux sens et permet de transformer l’écriture d’une expression.
Développer une expression algébrique = distribuer, ce qui revient à la transformer en une somme de deux ou plusieurs termes.
Réduire une expression algébrique développée, revient à l’écrire avec un minimum de termes possibles. Ce qui revient à regrouper les termes de même nature.
Factoriser une expression algébrique, revient à la transformer sous la forme d’un produit de deux ou plusieurs facteurs.
On décompose chaque terme à l’aide d’un facteur commun, numérique ou littéral $k$.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Calculer les expressions suivantes de deux manières :
1°) $A=2(13+5)$ ;
2°) $B=8(15−9)$ ;

1°) Calculs de $A$.
1ère manière : en respectant la priorité des parenthèses :
$$\begin{array}{rcl}
A&=&2(13+5)\\
&=&2\times 18\\
&&\boxed{~A=36~}\\ \end{array}$$
2ème manière : Je développe à l’aide de la propriété de distributivité :
$$\begin{array}{rcl}
A&=&2(13+5)\\
&=&2\times13 + 2\times 5\\
&=&26+10\\
&&\boxed{~A=36~}\\ \end{array}$$

1°) Calculs de $B$.
1ère manière : en respectant la priorité des parenthèses :
$$\begin{array}{rcl}
B&=&8(15−9)\\
&=&8\times 6\\
&&\boxed{~B=48~}\\ \end{array}$$
2ème manière : Je développe à l’aide de la propriété de distributivité :
$$\begin{array}{rcl}
B&=&8(15-9)\\
&=&8\times15 – 8\times 9\\
&=&120-72\\
&&\boxed{~B=48~}\\ \end{array}$$

Exercice 2. Un domaine forestier rectangulaire contient 25 rangées de 38 arbres.
2°) On a planté 12 arbre supplémentaires sur chaque rangée, calculer le nombre d’arbres dans le domaine.
2°) Quelques années plus tard, suite à une période de sécheresse, sur chaque rangée, 15 arbres ont brulé. Écrire une expression et calculer le nombre d’arbres qui n’ont pas brulé.

Corrigé.
1°) Chaque rangée contient 38 arbres.
On a planté 12 arbre supplémentaires sur chaque rangée, ce qui donne, $38+12=50$ arbres par rangée.
Finalement, le nombre d’arbres dans le domaine est : $$
\begin{array}{rcl}
N&=&25\times(38+12)\\ N&=&25\times50\\
&&\boxed{~N=1250~\text{arbres}}\\ \end{array}$$

2°) Quelques années plus tard, suite à une période de sécheresse, sur chaque rangée, 15 arbres ont brulé. Ce qui donne : $50-15=35$ arbres par rangée.
Finalement, le nombre d’arbres restant dans le domaine est : $$
\begin{array}{rcl}
N&=&25\times(50-15)\\ N&=&25\times35\\
&&\boxed{~N=875~\text{arbres}}\\ \end{array}$$

Avec le calcul littéral :

Exercice 3. Développer et réduire les expressions suivantes :
1°) $A(x)=3(x+5)$.
2°) $B(x)=2(x+3)+4(x-2)$

Corrigé.
1°) Développer et réduire :
$A(x)=3(x+5)=3\times x+ 3\times 5=3x+15$.

2°) Développer et réduire : $$\begin{array}{rcl}
B(x)&=&2(x+5)+4(x-2)\\
&=& 2\times x+2\times 5+4\times x-4\times 2\\
&=& 2x+10+4x-8\\
&=& 2x+4x+10-8 \\
&&\boxed{~B(x)=6x+2~}\\ \end{array}$$