1. Distance entre deux points sur une droite graduée

Soit $D=(OI)$ une droite graduée d’origine $O$ et d’unité $OI=1$.

Définition 1.
Soient $x_A$ et $x_B$ les abscisses de deux points $A$ et $B$ respectivement, de la droite graduée $D=(OI)$. On calcule la distance entre les deux points $A$ et $B$ comme la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite : $$\color{brown}{\boxed{~AB=\text{La plus grande abscisse}-\text{La plus petite abscisse}~}}$$ Autrement dit : $$\begin{array}{c} \color{brown}{\boxed{\text{Si}~ x_B>x_A,~\text{alors}~AB=x_B-x_A~~}}\\
\color{brown}{\boxed{\text{Si}~ x_B>x_A, ~\text{alors}~AB=x_B-x_A~~}}\\ \end{array}$$

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Dans la figure ci-dessus, calculer les distances suivantes $AB$, $CD$, puis $BC$.

1°) Calcul de $AB$
Par lecture graphique, on détermine d’abord les abscisses des points $A$ et $B$ :
$x_A=+4,5$ et $x_B=-5,5$
Comme $x_A>x_B$, on a $$\begin{array}{c}
AB=x_A-x_B\\ AB=(+3,5)-(-5,5) \\ AB=(+3,5)+(+5,5)=(+9)\\
\end{array}$$ Conclusion. La distance entre les deux points $A$ et $B$ est : $\boxed{~AB=9~}$.

2°) Calcul de $CD$
Par lecture graphique, on détermine les abscisses des points $C$ et $D$ :
$x_C=-3$ et $x_D=+3$
Comme $x_D>x_C$, on a $$\begin{array}{c}
CD=x_D-x_C\\ CD=(+3)-(-3) \\ CD=(+3)+(+3)=(+6)\\
\end{array}$$ Conclusion. La distance entre les deux points $C$ et $D$ est : $\boxed{~CD=6~}$.

3°) alcul de $BC$
Par lecture graphique, on détermine les abscisses des points $B$ et $C$ :
$x_B=-6$ et $x_C=-3$
Comme $x_C>x_B$, on a $$\begin{array}{c}
BC=x_C-x_B\\ BC=(-3)-(-6) \\ BC=(-3)+(+6)=(+3)\\
\end{array}$$ Conclusion. La distance entre les deux points $B$ et $C$ est : $\boxed{~BC=3~}$.

Exercice résolu n°2.
Soit $A$ un point d’abscisse $x_A=3,5$, d’une droite graduée $D=(OI)$.
Déterminer tous les points $M$ de la droite $D$ tels que la distances $AM=5$.

On nome $x_M$ l’abscisse du point $M$ sur la droite graduée $D$.
Nous ne connaissons pas la position du point $M$ par rapport à $A$.
On distingue donc deux cas possible :
– 1er cas $x_M>x_A$.
On a alors $AM=5$ signifie $x_M-x_A=5$.
Donc : $x_M-3,5=5$. Ce qui donne $x_M=5+3,5$. D’où : $\boxed{~x_M=8,5~}$.

– 2ème cas $x_M<x_A$. Donc $x_A>x_M$.
On a alors $AM=5$ signifie $x_A-x_M=5$.
Donc : $3,5-x_M=5$. Ce qui donne $3,5-5=x_M$. D’où : $\boxed{~x_M=-2,5~}$.

Conclusion. Il est clair qu’il existe deux points $M_1$ et $M_2$ sur la droite $D$, distants de $5$ unités du point $A$, l’un à gauche de $A$ et l’autre à droite.
Les abscisses de ces points sont respectivement : $$\boxed{~x_1=-2,5 \quad\text{et}\quad x_2=5~}$$