1. Partie numérique ou distance à zéro d’un nombre relatif
Rappel. Définitions 1.
On rappelle qu’un nombre relatif est composé de deux parties :
$\rightarrow$ un signe $(+)$ ou $(-)$ suivant qu’il est positif ou négatif ;
$\rightarrow$ et une partie numérique, appelée aussi « valeur absolue » ou « distance à zéro » qu’on note entre deux barres.
Sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre relatif $x$ correspond à la distance entre l’origine $O$ et le point $M$ qui a pour abscisse ce nombre $x$.
Exemples
$(+5)$ est un nombre positif. Son signe est $(+)$ et sa distance à zéro est $|+5|=5$.
$(-3)$ est un nombre négatif. Son signe est $(-)$ et sa distance à zéro est $|-3|=3$.
$0$ est le nombre nul. Son signe est $(+)$ et $(-)$, car $+0=0=-0$ ; et sa distance à zéro est $|0|=0$.
Propriété 1.
La distance à zéro d’un nombre relatif est toujours positive ou nulle.
2. Nombres relatifs opposés
Définition 2.
Deux nombres relatifs sont dits opposés s’il ont la même distance à zéro et des signes contraires.
Exemple
Les nombres relatifs $(-5)$ et $(+5)$ sont opposés.
Les nombres relatifs $(-2,85)$ et $(+2,85)$ sont opposés.
Propriété 2.
La somme de deux nombres relatifs opposés est toujours égale à $0$.
Exemples
Les deux nombres relatifs $(-2,85)$ et $(+2,85)$ opposés donc : $$(-2,85)+(+2,85)=0$$
De même, les deux nombres relatifs $(+5,3)$ et $(-5,3)$ opposés donc : $$(+5,3)+(-5,3)=0$$
Finalement, on peut donner une définition de la distance à zéro ou valeur absolue d’un nombre relatif $x$ :
Définition 3.
Soit $x$ un nombre relatif.
$\bullet$ Si $x$ est positif, alors sa valeur absolue est égale à lui même.
$\bullet$ Si $x$ est négatif, alors sa valeur absolue est égale à son opposé.
Ainsi, dans les deux cas, La valeur absolue d’un nombre relatif est toujours un nombre positif ou nul. On n’a plus besoin du signe.
Exemples
Déterminer les valeurs absolues des nombres relatifs suivants : $(-5,2)$ et $(+7;3)$.
$|(-5,2)|=5,2$ et $|(+7,3)|=7,3$