1. Rappel. Propriété de distributivité

Nous avons déjà vu dans la propriété de distributivité, que pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, on multiplie chaque terme de la somme par ce nombre, puis on fait la somme (ou la différence) des deux résultats. On dit que : la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Cette propriété permet d’effectuer des calculs de deux manières.

2. Développer une expression algébrique

Définition 1.
Développer une expression algébrique = distribuer, ce qui revient à la transformer en une somme de deux ou plusieurs termes. On utilise la propriété de distributivité des nombres de gauche à droite. $$\begin{array}{rcl}
&&\color{brown}{— Développement \longrightarrow }\\
&&\color{brown}{\boxed{\; k(a+b) = ka + kb\; }}\quad(1)\\
&&\color{brown}{\boxed{\; \; \; k(a-b) = ka\, – kb\; }}\quad(2)\\
\end{array}$$

3. Réduire une expression algébrique

Définition 2.
Réduire une expression algébrique développée, revient à l’écrire avec un minimum de termes possibles. Ce qui revient à regrouper les termes de même nature.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Objectif : Calculer de deux manières.
On considère les expressions suivantes :
$A=2(13+17)$ et $B=5(42−22)$
1°) Calculer les expressions $A$ et $B$ en respectant les priorités opératoires.
2°) Développer, puis recalculer les expressions $A$ et $B$.

1. a) Calculs de $A$ en respectant la priorité des parenthèses :$$\begin{array}{rcl} A&=&2(13+17)\\ &=&2\times 30\\ &&\boxed{~A=60~}\\ \end{array}$$
b) Calculs de $B$ en respectant la priorité des parenthèses :$$\begin{array}{rcl} B&=&5(42−22)\\ &=&5\times 20\\
&&\boxed{~B=100~}\\ \end{array}$$

2. a) Je développe à l’aide de la propriété de distributivité :$$\begin{array}{rcl} A&=&2(13+17)\\ &=&2\times13 + 2\times 17\\ &=&26+34\\
&&\boxed{~A=60~}\\ \end{array}$$
b) Je développe à l’aide de la propriété de distributivité : $$\begin{array}{rcl}
B&=&5(42-22)\\
&=&5\times42- 5\times 22\\
&=&210-110\\
&&\boxed{~B=100~}\\ \end{array}$$

Exercice résolu n°2. Objectif : Réduire une expression algébrique
Réduire les expressions suivantes :
$A=5a+3b+2a-b$ et $B=6x+5y-4x+y+7$

1°) Pour réduire une expression algébrique développée, on regroupe les termes de même nature. Pour cela, on change l’ordre des termes en conservant les signes. $$\begin{array}{rl} A&=5a+3b+2a-b\\ &=5a+2a+3b-b\\ &=(5a+2a)+(3b-b)\\ &= 7a+2b\\ &\boxed{~A=7a+2b~}\\ \end{array}$$

2°) Pour réduire une expression algébrique développée, on regroupe les termes de même nature. Pour cela, on change l’ordre des termes en conservant les signes. $$\begin{array}{rl} B&=6x+5y-4x+y+7\\ &=6x-4x+5y+{\color{brown}{1}}y+7\\ &= (6x-4x)+(5y+1y)+7 \\ &\boxed{~B=2x+6y+7~}\\ \end{array}$$