1. Factoriser une expression algébrique

Dans la propriété de distributivité, pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, nous avons une égalité qui peut se lire dans les deux sens :
– De gauche à droite, développement. On distribue le nombre à chaque terme de la somme ou une différence.
– de droite à gauche, factorisation. On transforme une somme ou une différence en un produit de deux ou plusieurs facteurs.

Rappel : Une somme ou une différence se composent de termes.
Un produit se compose de facteurs. D’où la définition suivante.

Définition 1.
Factoriser une expression algébrique, revient à la transformer sous la forme d’un produit de deux ou plusieurs facteurs.
On décompose chaque terme à l’aide d’un facteur commun, numérique ou littéral $k$. $$\begin{array}{rcl}
&&\color{brown}{— Développement \longrightarrow }\\
&&\color{brown}{\boxed{\; k(a+b) = ka + kb\; }}\quad(1)\\
&&\color{brown}{\boxed{\; \; \; k(a-b) = ka\, – kb\; }}\quad(2)\\
&&\color{brown}{ \longleftarrow Factorisation — } \\
\end{array}$$

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Objectif : Écrire sous la forme d’un produit.
Factoriser les expressions suivantes, puis les calculer :
1°) $A=37\times53+37\times47$
2°) $B=7\times44-7\times34$

1°) Dans la première expression, c’est une somme de 2 termes. Chaque terme est factorisé et on a un facteur commun qui est $37$.
$$\begin{array}{rl}\\ A&={\color{brown}{37}}\times53 + {\color{brown}{37}}\times47 \\ &={\color{brown}{37}}\times(53+47)\\ &=\color{brown}{37}\times100\\
&\boxed{~A=3700~}\\ \end{array}$$

2°) Dans la deuxième expression, c’est une différence de 2 termes. Chaque terme est déjà factorisé et on a un facteur commun qui est $7$.
$$\begin{array}{rl}\\ B&={\color{brown}{7}}\times44- {\color{brown}{7}}\times34 \\ &={\color{brown}{7}}\times(44-34)\\ &={\color{brown}{7}}\times10\\
&\boxed{~B=70~}\\ \end{array}$$

Exercice résolu n°2. Objectif : Écrire sous la forme d’un produit.
Factoriser les expressions suivantes, sans les calculer :
1°) $A=350+210$
2°) $B=85-34$

1°) L’expression $A$ est une somme de deux termes. Cherchons un facteur commun le plus simple.
$350=10\times35$ et $210=10\times 21$.
On a donc un facteur commun égal à $10$. On factorise par $10$. On peut donc écrire : $A=10\times35+10\times21$. Donc : $$\boxed{~A=10\times(35+21)~}$$

Remarque. On aurait pu choisir un autre facteur commun. Par exemple : $2$ ; $5$ ; $7$ ; $14$ ; etc.

2°) L’expression $B$ est une différence de deux termes. Cherchons un facteur commun le plus simple.
$85=5\times17$ et $34=2\times 17$.
On a donc un facteur commun égal à $17$. On factorise par $10$. On peut donc écrire : $B=17\times5-17\times2$. Donc : $$\boxed{~B=17\times(5-2)~}$$

Avec le calcul littéral

Exercice résolu n°3. Objectif : Écrire sous la forme d’un produit.
Factoriser les expressions suivantes :
1°) $A(x)=8x-12$ ; lire « A-de-x»
2°) $B(x)=2x^2+x$ ;
3°) $C(x)=15x^2+25x$
4°) $D(x)=3x(x-2)+(x-2)(2x+3)$

1°) L’expression $A(x)$ est une différence de 2 termes.
On décompose chaque terme.
$A(x)=8x-12=4\times 2x-4\times 3$
On remarque qu’il y a un facteur commun numérique qui est $4$. On factorise par $4$.
$$\begin{array}{rl}
A(x)&=8x-12\\ &={\color{brown}{4}}\times 2x-{\color{brown}{4}}\times 3\\ &={\color{brown}{4}}\times(2x-3)\\ &\boxed{~A(x)=4(2x-3)~}\\ \end{array}$$

2°) L’expression $B(x)$ est une somme de 2 termes.
On décompose chaque terme.
$B(x)=2x^2+x=x\times 2x+x\times 1$
On remarque qu’il y a un facteur commun littéral qui est $x$. On factorise par $x$.
$$\begin{array}{rl} B(x)&=2x^2+x\\
&={\color{brown}{x}}\times 2x +{\color{brown}{x}}\times 1\\ &={\color{brown}{x}}\times(2x+1)\\
&\boxed{~A(x)=x(2x+1)~}\\ \end{array}$$

3°) L’expression $C(x)$ est une somme de 2 termes.
On décompose chaque terme. On remarque qu’ici, il y a deux facteurs communs ; un facteur commun numérique qui est $5$ et un facteur commun littéral qui est $x$. On factorise par $5x$.
$C(x)=15x^2+25x=5x\times 3x+5x\times 5$. On a alors :
$$\begin{array}{rl} C(x)&=15x^2+25x\\ &={\color{brown}{5x}}\times 3x +{\color{brown}{5x}}\times 5 \\ &={\color{brown}{5x}}\times(3x+5)\\
&\boxed{~C(x)=5x(3x+5)~}\\ \end{array}$$

4°) L’expression $D(x)$ est une somme de 2 termes.
On décompose chaque terme. On remarque qu’ici, il y a un groupe facteur commun qui est $(x-2)$. On factorise par $(x-2)$.
$C(x)=3x(x-2)+(x-2)(2x+3)=(x-2)\times 3x+(x-2)\times(2x+3)$.
Ici, il y a des facteurs entre parenthèses. Nous allons utiliser des crochets. On a alors :
$$\begin{array}{rl} D(x)&=3x(x-2)+(x-2)(2x+3)\\ &={\color{brown}{(x-2)}}\times 3x +{\color{brown}{(x-2)}}\times (2x+3) \\ &={\color{brown}{(x-2)}}\times\left[3x+(2x+3)\right]\\ &=(x-2)(3x+2x+3)\\ &\boxed{~D(x)=(x-2)(5x+3)~}\\ \end{array}$$