Nous avons déjà rencontré la notion de « partie numérique » ou « distance à zéro », ainsi que la notion d’« opposé » d’un nombre relatif.
Nous avons besoin de ces notions pour définir les opérations d’addition et de soustraction des nombres relatifs.
1. Addition de deux nombres relatifs
1.1 Activité. Recettes et dépenses
Exercice n°1.
Dans chacun des cas suivants, calculer le résultat $R$ qu’obtient Vincent après avoir les deux opérations :
1°) Un gain de $50$ € suivi d’un gain de $20$ €.
2°) Une dépense de $50$ € suivi d’une dépense de $20$ €.
3°) Un gain de $50$ € suivi d’une dépense de $20$ €.
4°) Une dépense de $50$ € suivi d’un gain de $20$ €.
1.2. Règles d’addition de deux nombres relatifs
Propriété. Règle 1.
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne d’abord leurs distances à zéro et on donne au résultat le signe commun aux deux nombres. Par exemple : $$\begin{array}{c} {\color{blue}{(+5)+(+3)=+8}}\\ (-5)+(-7)=(-12)\\ \end{array}$$
Propriété. Règle 2.
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait d’abord leurs distances à zéro et on donne au résultat le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro. Par exemple : $$\begin{array}{c}
{\color{blue}{(+5)}}+(-3)={\color{blue}{(+2)}} \\ {\color{blue}{(-8)}}+(+5)=(-3) \\ \end{array}$$
Remarque. Commuter = permuter = changer de place.
Propriété. Règle 3.
Dans une addition de nombres relatifs, on peut changer l’ordre des termes, la somme ne change pas. $$(-23)+(+15)=(-8)=(+15)+(-23)$$
On dit que l’addition des nombres relatifs est une opération commutative.
2. Addition de deux nombres relatifs opposés
Deux nombres relatifs sont opposés s’ils ont la même distance à zéro et des signes contraires.
Règle 4.
La somme de deux nombres relatifs opposés est toujours égale à zéro. Par exemple : $$
{\color{blue}{(+15)}}+(-15)=0$$
3. Exercices résolus
Exercice n°3. Effectuer les opérations suivantes :
1°) $A= (-10)+(+15)$ ;
2°) $B=(-26)+(-14)$ ;
3°) $C=(+18)+(-25)$ ;
4°) $D=(-25)+(-12)$.