1. Passer de la division à l’écriture fractionnaire

Définition 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres décimaux, avec $b\not=0$.
L’écriture $\dfrac{a}{b}$ représente le quotient exact de la division de $a$ par $b$.
Autrement dit : $\dfrac{a}{b}=a\div b$. « le numérateur divisé par le dénominateur ».

Exemples

  • $8\div5 =\dfrac{8}{5}=1,6$. Le quotient est exact. La division s’arrête.
    On obtient un nombre décimal. On peut donc utiliser les deux écritures, l’écriture décimale et l’écriture fractionnaire.
  • $5\div3 =\dfrac{5}{3}\simeq 1,666\ldots$. La division ne s’arrête pas.
  • L’écriture fractionnaire donne la valeur exacte du quotient.
  • L’écriture décimale donne souvent des valeurs approchées, non exactes quel que soit le niveau de précision. Par exemple :
    $5\div3 \simeq 1,7\ldots$ valeur approchée arrondie au dixième près.
    $5\div3 \simeq 1,67\ldots$ valeur approchée arrondie au centième près.
    $5\div3 \simeq 1,667\ldots$ valeur approchée arrondie au millième près.
    et ainsi de suite.

On peut donc utiliser les deux écritures. Mais pour avoir des résultats exacts, on privilégie l’écriture fractionnaire. qui donne la valeur exacte dans tous les cas.

2. Effectuer des calculs avec des écritures fractionnaires

Nous rencontrerons différentes situations pour transformer les calculs avec des écritures en ligne avec des divisions en des calculs avec des écritures fractionnaires.

Règle 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres décimaux, avec $b\not=0$. Nous avons les écritures suivantes qui permettent de faire des transformations dans un sens ou dans l’autre. $$\begin{array}{rcl}
a+b\times c &=& a+(b\times c)\\
a+b\div c &=& a+\dfrac{b}{c}\\
(a+b)\div c &=& \dfrac{a+b}{c}\\
a\div(b+c) &=& \dfrac{a}{b+c}\\
\end{array}$$

Remarques

  • Toutes les divisions de nombres décimaux par $5$, $25$,… etc., s’arrêtent et donnent un nombre décimal.
  • Toutes les divisions de nombres décimaux par $2$, $4$, $8$,… etc., s’arrêtent et donnent un nombre décimal.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Sachant que $a=18$, $b=3$ et $c=5$, calculer et donner la valeur exacte de :
$\begin{array}{rl}
\text{1°) }A=& a+(b\times c)\\
\text{2°) }B=& a+\dfrac{b}{c}\\
\text{3°) }C=& \dfrac{a+b}{c}\\
\text{4°) }D=& \dfrac{a}{b+c}\\
\end{array}$

1°) Calcul de $A=a+b\times c$.
$$\begin{array}{rl}
A&=18+3\times 5 \\ A&=18+15\\
&\boxed{~A=33~}\\ \end{array}$$ Valeur exacte. Il n’y pas de division.

2°) Calcul de $B=a+\dfrac{b}{c}$.
$$\begin{array}{rl}
B&=18+\dfrac{3}{5} \\ B&=18+\dfrac{3}{5} \\ B&=18+0,6\\
&\boxed{~B=18,6~}\\ \end{array}$$ Ici, nous avons obtenu une valeur exacte car on a effectué une division par $5$.

3°) Calcul de $C=\dfrac{a+b}{c}$.
$$\begin{array}{rl}
C&=\dfrac{18+3}{5} \\ C&=\dfrac{21}{5} \\ &\boxed{~C=4,2~}\\
\end{array}$$ Ici, nous avons obtenu une valeur exacte car on a effectué une division par $5$.

4°) Calcul de $D=\dfrac{a}{b+c}$.
$$\begin{array}{rl}
D&=\dfrac{18}{3+5}\\ D&=\dfrac{18}{8}\\ &\boxed{~D=2,375~}\\
\end{array}$$ Ici, nous avons obtenu une valeur exacte car on a effectué une division par $8$.

Exercice résolu n°2.
Sachant que $a=8$, $b=4$ et $c=7$, calculer et donner la valeur exacte de :
1°) $A=a+b\times c$ ;
2°) $B=a+b\div c$ ;
3°) $C=(a+b)\div c$ ;
4°) $D=a\div(b+c)$.

1°) Calcul de $A=a+b\times c$.
$$\begin{array}{rl}
A&=8+4\times 7\\ A&=12+21\\ &\boxed{~A=33~}\\ \end{array}$$ Valeur exacte. Il n’y pas de division.

2°) Calcul de $B=a+\dfrac{b}{c}$.
$$\begin{array}{rl}
B&=8+\dfrac{4}{7}\\ B&\simeq18+0,5714\ldots\\
& \boxed{~B\simeq18,5714\ldots ~}\\ \end{array}$$ C’est une valeur approchée. Cherchons la valeur exacte en utilisant l’écriture fractionnaire. $$\begin{array}{rl}
B&=8+\dfrac{4}{7}\\ B&=\dfrac{8\times7}{7}+\dfrac{4}{7}\\ B&= \dfrac{56}{7}+\dfrac{4}{7}\\ &\boxed{~B=\dfrac{60}{7}~}\\
\end{array}$$ Valeur exacte.

3°) Calcul de $C=\dfrac{a+b}{c}$.
$$\begin{array}{rl}
C&=\dfrac{8+4}{7}\\ C&=\dfrac{12}{7}\\ &\boxed{~C=1,71428\ldots~}\\
\end{array}$$ C’est une valeur approchée. Nous avons déjà obtenu la valeur exacte en utilisant l’écriture fractionnaire. $$ \boxed{~C=\dfrac{12}{7}~}$$

4°) Calcul de $D=\dfrac{a}{b+c}$.
$$\begin{array}{rl}
D&=\dfrac{8}{4+7}\\ D&=\dfrac{8}{11}\\ &\boxed{~D=0,727272\ldots~}\\
\end{array}$$ C’est une valeur approchée. Nous avons déjà obtenu la valeur exacte en utilisant l’écriture fractionnaire. $$ \boxed{~D=\dfrac{8}{11}~}$$