2. Définition

Définition 1.
Une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs.

Exemple
$A=(-5)-(-4)+(-3)+(+5)+(-7)-(-6)$ est une somme algébrique.

Rappel des propriétés de l’addition

Propriétés 1.
La somme de deux nombres opposés est égale à $0$.

Propriété 2. L’addition est une opération dite « commutative ».
Dans une addition de nombres relatifs, on peut changer l’ordre des termes, la somme ne change pas.
Autrement dit : quels que soient les nombres relatifs $a$ et $b$ : $$\boxed{~a+b=b+a~}$$

Propriété 3. L’addition est une opération dite « associative ».
Dans une addition de plusieurs nombres relatifs, on peut faire des associations ou groupements (judicieux) de termes, la somme ne change pas.
Autrement dit : quels que soient les nombres relatifs $a$, $b$ et $c$ : $$\boxed{~(a+b)+c=a+(b+c)~}$$

2. Calcul d’une somme algébrique

Règle 1.
Pour calculer une somme algébrique, on procède en trois étapes :
1°) On transforme toutes les soustractions en additions d’opposés ;
2°) On élimine les opposés deux à deux ;
3°) On fait des groupements (judicieux) pour simplifier les calculs ;
Puis, on applique les règles habituelles d’addition des nombres relatifs.

Remarque.
La 2ème méthode est plus rapide.

Exercice résolu n°2.
1°) Calculer $A=(-5)-(-4)+(-8)+(+5)+(-7)-(-6)$.
2°) Calculer $B=(-3,5)-(-3)+(+4,5)-(+3)+(-7)+(+4)$.

1°) Calcul de $A=(-5)-(-4)+(-8)+(+5)+(-7)-(-6)$.
$\bullet$ On transforme toutes les soustractions en additions d’opposés ;
$$\begin{array}{rcl}
A&=&(-5)-(-4)+(-8)+(+5)+(-7)-(-6)\\
&=&(-5)+(+4)+(-8)+(+5)+(-7)+(+6)\\
\end{array}$$
$\bullet$ On élimine les opposés :
$$\begin{array}{rcl}
A&=&(-5\!\!\!\!{\color{brown}{\Large /}})+(+4)+(-8)+(+5\!\!\!\!{\color{brown}{\Large /}})+(-7)+(+6)\\
&=& (+4)+(-8)+(-7)+(+6) \\
\end{array}$$
$\bullet$ On fait les regroupements judicieux
$$\begin{array}{rcl}
&=& {\color{brown}{(-8)+(-7)}}+{\color{blue}{(+4)+(+6)}} \\
&=& {\color{brown}{(-15)}}+{\color{blue}{(+10)}} \\
&=& {\color{brown}{\boxed{~~(-5)~~}}} \\
\end{array}$$

2°) Calcul de $B=(-3,5)-(-3)+(+4,5)-(+3)+(-7)+(+4)$.
$\bullet$ On transforme toutes les soustractions en additions d’opposés ;
$$\begin{array}{rcl}
B&=&(-3,5)-(-3)+(+4,5)-(+3)+(-7)+(+4)\\
&=&(-3,5)+(+3)+(+4,5)+(-3)+(-7)+(+4)\\
\end{array}$$
$\bullet$ On élimine les opposés :
$$\begin{array}{rcl}
B&=&(-3,5)+(+3\!\!\!\!{\color{brown}{\Large /}})+(+4,5)+(-3\!\!\!\!{\color{brown}{\Large /}})+(-7)+(+4)\\
&=& (-3,5)+(+4,5)+(-7)+(+4) \\
\end{array}$$
$\bullet$ On fait les regroupements judicieux
$$\begin{array}{rcl}
B&=& {\color{brown}{(-3,5)+(-7)}}+{\color{blue}{(+4,5)+(+4)}} \\
&=& {\color{brown}{(-10,5)}}+{\color{blue}{(+8,5)}} \\
\text{Donc}&& {\color{brown}{\boxed{~~B=-2~~}}} \\
\end{array}$$
$\blacktriangle$

2. Simplification des écritures

L’utilisation et le respect des parenthèses sont très importants pour l’apprentissage des opérations sur les nombres relatifs. Néanmoins, très vite, nous allons nous « débarrasser » de ces parenthèses pour simplifier les écritures.

Exemples
$$\begin{array}{rcl}
A&=&(-5)+(-4)-(+8)+(+5)-(-7)-(+6)\\ A&=&\boxed{~~-5-4-8+5+7-6~~}\\
B&=&(-3,5)-(-3)+(+4,5)-(+3)+(-7)+(-4)\\ B&=&\boxed{~~-3,5+3+4,5-3-7-4~~}\\ \end{array}$$

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°3.
1°) Calculer $A=(-2,5)+(-4,5)+(+3,2)+(+2,5)+(-7,5)+(+6,8)$.
2°) Calculer $B=(-23,5)+(-13)+(+14,5)+(+13)+(-17)+(+24)$.

A terminer.