Nous allons appliquer la propriété de distributivité au calcul mental. Calcul rapide, facile et efficace. Calcul mental en classe, seul ou en groupe.

1. Propriété de distributivité

Propriété de distributivité.
Pour tous nombres $a$, $b$ et $k$, on a : $$\begin{array}{rcl}
&&\color{brown}{— Développement \longrightarrow }\\
&&\color{brown}{\boxed{\; k(a+b) = ka + kb\; }}\quad(1)\\
&&\color{brown}{\boxed{\; \; \; k(a-b) = ka\, – kb\; }}\quad(2)\\
&&\color{brown}{ \longleftarrow Factorisation — } \\
\end{array}$$ On dit que la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.

2. Application au calcul mental

Pour faire des multiplications rapides on décompose le nombre le plus simple en une somme ou une différence, puis on applique la propriété de distributivité.

Exercice résolu 1. Calculer rapidement sans calculatrice :
1°) $A=48\times 11$ ;
2°) $B=36\times21$
3°) $C=54\times 31$.

Corrigé.
1°) Calcul de $A=48\times11$.
On décompose $11$ en une somme : $11=10+1$ et on applique mentalement la propriété de distributivité.
$=48\times(10+1)=48\times10+48\times1$.
Ce qui donne : $$\begin{array}{rl}
A&=48\times11\\ &=48\times(10+1)\\ &=48\times10+48\times1\\
&=480+48\\ &=480+40+8\\ &=520+8\\ &=528\\
&\color{brown}{\boxed{~A=48\times11=528~}}
\end{array}$$

2°) Calcul de $B=36\times21$.
On décompose $21$ en une somme : $21=20+1$ et on applique mentalement la propriété de distributivité. $B=36\times(20+1)=36\times20+36\times1$.
Ce qui donne :$$\begin{array}{rl}
B&=36\times21\\ &=36\times(20+1)\\ &=36\times20+36\times1\\
&=36\times2\times10+36\\ &=72\times10+30+6\\ &=720+30+6\\
&\color{brown}{\boxed{~B=36\times21=756~}}
\end{array}$$

3°) Calcul de $C=54\times31$.
On décompose $31$ en une somme : $31=30+1$ et on applique mentalement la propriété de distributivité. $C=54\times(30+1)=54\times30+54\times1$.
Ce qui donne :$$\begin{array}{rl}
C&=54\times31\\ &=54\times(30+1)\\ &=54\times30+54\times1\\
&=54\times3\times10+54\\ &=(50+4)\times3\times10+54\\ &=(150+12)\times10+54\\
&=1620+50+4\\ &=1674\\
&\color{brown}{\boxed{~C=54\times31=1674~}}
\end{array}$$

Exercice résolu 2. Calculer rapidement sans calculatrice :
1°) $A=85\times 9$ ;
2°) $B=46\times19$

1°) Calcul de $A=85\times 9$.
On décompose $9$ en une différence : $9=10-1$ et on applique mentalement la propriété de distributivité.
$=85\times(10-1)=85\times10-85\times1$.
Ce qui donne : $$\begin{array}{rl}
A&=85\times9\\ &=85\times(10-1)\\ &=85\times10-85\times1\\
&=850-85\\ &=850-80-5\\ &=770-5\\ &=765\\
&\color{brown}{\boxed{~A=85\times9=765~}}
\end{array}$$

Corrigé.
2°) Calcul de $B=46\times19$.
On décompose $19$ en une différence : $19=20-1$ et on applique mentalement la propriété de distributivité.
$A=\times(10-1)=46\times20-46\times1$.
Ce qui donne : $$\begin{array}{rl}
B&=46\times19\\ &=46\times(20-1)\\ &=46\times20-46\times1\\
&=46\times2\times10-46\\ &=920-40-6\\ &=880-6\\ &=876\\
&\color{brown}{\boxed{~B=46\times19=876~}}
\end{array}$$

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