1. Angles adjacents
Définition 12.
Deux angles sont dits adjacents si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
1°) Les deux angles ont le même sommet $O$ ;
2°) Ils ont un côté commun ;
3°) Et ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
« de part et d’autre » = « de chaque côté ». Exemple : « La ville s’étend de part et d’autre du fleuve » = « La ville s’étend de chaque côté du fleuve ».
Exemples
1°) Dans la figure 1, les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAD}$ ont le même sommet $A$, un côté commun $[AC)$ et sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Donc les deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAD}$ sont adjacents.
2°) Dans la figure 1, les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BAD}$ ont le même sommet $A$, un côté commun $[AB)$, mais ils ne sont pas situés de part et d’autre de ce côté commun. Donc les deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BAD}$ ne sont pas adjacents.
3°) Dans le figure 2 ci-dessous, les angles $\widehat{BEC}$ et $\widehat{CAD}$ sont-ils adjacents ?
Les deux angles $\widehat{BEC}$ et $\widehat{CAD}$ ne sont pas adjacents car ils n’ont pas le même sommet.
Propriété 1.
Si deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAD}$ (figure 1.) sont adjacents, alors la mesure de l’angle $\widehat{BAD}$ est égale à la somme des mesures des deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAD}$ : $$\boxed{~\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{BAD}~}$$
2. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
1°) Construire deux angles suivants placés de par et d’autre du côté $[AB)$ : $\widehat{BAC}=48^\circ$ et $\widehat{BAD}=65^\circ$.
2°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{CAD}$.
1°) Construction de la figure :
2°) Les deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BAD}$ ont le même sommet $A$, un côté commun $[AB)$ et sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Donc ils sont adjacents.
Donc, la mesure du grand angle est égale à la somme des mesures des deux angles qui le composent. Ce qui donne : $$\widehat{CAD}=\widehat{CAB}+\widehat{BAD}=65^\circ+48^\circ=113^\circ$$
Conclusion. $$\boxed{~\widehat{CAD}=113^\circ~}$$
Exercice résolu n°2.
1°) Construire deux angles suivants placés du même côté de $[AB)$ : $\widehat{BAC}=48^\circ$ et $\widehat{BAD}=65^\circ$.
2°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{CAD}$.
1°) Construction de la figure :
Les deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BAD}$ ont le même sommet $A$, un côté commun $[AB)$, mais ne sont pas situés de part et d’autre de ce côté commun. Donc ils ne sont pas adjacents.
Par contre, par construction, les deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAD}$ ont le même sommet $A$, un côté commun $[AC)$ et sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Donc ils sont adjacents.
Donc, la mesure du grand angle $\widehat{BAD}$ est égale à la somme des mesures des deux angles qui le composent. Ce qui donne : $$\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}$$ Ce qui donne : $$65^\circ=48^\circ+\widehat{CAD}$$ Et par soustraction, on obtient : $$\widehat{CAD}=65^\circ-48^\circ=17^\circ$$
Conclusion. $$\boxed{~\widehat{CAD}=17^\circ~}$$