Un nombre relatif est composé de d’un signe (positif ou négatif) et d’une partie numérique, appelée aussi valeur absolue ou distance à zéro. Pour apprendre à calculer les opérations d’addition et de soustraction de nombres relatifs, nous avons besoins de ces deux notions. Ces notions sont fondamentales pour bien maîtriser le calcul des opérations sur les nombres, en particulier les additions et soustractions des nombres relatifs.

1. Addition de nombres relatifs

On distingue donc deux cas : si les deux nombres sont de même signes ou si les deux nombres sont de signes différents.

Règle 1. Addition de nombres relatifs de même signe :
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
$\bullet$ On additionne leurs distances à zéro.
$\bullet$ Et on garde le signe commun des deux nombres.

Règle 2. Addition de nombres relatifs de signe contraires :
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :
$\bullet$ On calcule la différence des deux distances à zéro.
$\bullet$ Et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Exercice résolu n°1.
1°) Calculer $A=(-9)+(-4)$.
2°) Calculer $B=(-9)+(+4)$.
3°) Calculer $C=(+3,5)+(+4,2)$.
4°) Calculer $D=(+3,5)+(-4,2)$.

1°) Calculer $A=(-9)+(-4)$.
Ces deux nombres sont de même signe $(-)$.
On additionne les deux distances à zéro et on garde le signe commun des deux nombres.
$9+4=13$. Les deux nombres sont négatifs, donc la somme est négative. Donc : $$\boxed{~~A=(-9)+(-4)=-13~~}$$

2°) Calculer $B=(-9)+(+4)$.
Ces deux nombres sont de signes contraires.
On calcule la différence des deux distances à zéro, puis on garde le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique. $9-4=5$.
Ici, le nombre qui a la plus grande distance à zéro est le nombre négatif $(-9)$, donc la somme est négative. Donc : $$\boxed{~~A=(-9)+(+4)=-5~~}$$

3°) Calculer $C=(+3,5)+(+4,2)$.
Ces deux nombres sont de même signe $(+)$.
On additionne les deux distances à zéro et on garde le signe commun des deux nombres.
$3,5+4,2=7,7$. Les deux nombres sont négatifs, donc la somme est négative. Donc : $$\boxed{~~A=(+3,5)+(+4,2)=+7,7~~}$$

2°) Calculer $D=(+3,5)+(-4,2)$.
Ces deux nombres sont de signes contraires.
On calcule la différence des deux distances à zéro, puis on garde le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique. $4,2-3,5=0,7$.
Ici, le nombre qui a la plus grande distance à zéro est le nombre négatif $(-4,2)$, donc la somme est négative. Donc : $$\boxed{~~A=(-3,5)+(+4,2)=+0,7~~}$$

2. Opposé d’un nombre relatif

Définition 1.
L’opposé d’un nombre relatif $a$ est le nombre relatif qui a la même distance à zéro et le signe contraire. $$\color{brown}{\boxed{~\text{opposé}(a) = -a~}}$$

Exemples.
L’opposé de $(+5)$ est $(-5)$ et l’opposé de $(-5)$ est $(+5)$.
L’opposé de $(-2,6)$ est $(+2,6)$.

Propriétés de l’addition

Propriétés 1.
La somme de deux nombres opposés est égale à $0$.

Propriété 2. L’addition est une opération dite « commutative ».
Dans une addition de nombres relatifs, on peut changer l’ordre des termes, la somme ne change pas.
Autrement dit : quels que soient les nombres relatifs $a$ et $b$ : $$\boxed{~a+b=b+a~}$$

Propriété 3. L’addition est une opération dite « associative ».
Dans une addition de plusieurs nombres relatifs, on peut faire des associations ou groupements (judicieux) de termes, la somme ne change pas.
Autrement dit : quels que soient les nombres relatifs $a$, $b$ et $c$ : $$\boxed{~(a+b)+c=a+(b+c)~}$$

Exemples.
1°) $(-2,6)+(+2,6)=0$.
2°) $(+5,6)+(-3,2)=(+2,4)=(-3,2)+(+5,6)$.

2. Addition de plusieurs nombres relatifs

Règle 3. Addition de plusieurs nombres relatifs
1ère méthode
Pour additionner plusieurs nombres relatifs, on commence par éliminer les opposés deux à deux. Puis, on additionne les deux premiers ; on ajoute le résultat au troisième ; et ainsi de suite, de gauche à droite.
2ème méthode
Pour additionner plusieurs nombres relatifs, on commence par éliminer les opposés deux à deux. Puis, on regroupe les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux. On calcule ensuite la somme du nombre positif et du nombre négatif obtenus.

Remarque.
La 2ème méthode est plus rapide. (Méthode du banquier : +Recettes – Dépenses.)

Exercice résolu n°2.
1°) Calculer $A=(-5)+(-4)+(+3)+(+5)+(-7)+(+6)$.
2°) Calculer $B=(-3,5)+(-3)+(+4,5)+(+3)+(-7)+(+4)$.

1°) Calcul de $A=(-5)+(-4)+(+8)+(+5)+(-7)+(+6)$.
$\bullet$ On élimine les opposés :
$$\begin{array}{rcl}
A&=&(-5\!\!\!\!{\color{brown}{\Large /}})+(-4)+(+3)+(+5\!\!\!\!{\color{brown}{\Large /}})+(-7)+(+6)\\
&=& (-4)+(+8)+(-7)+(+6) \\
&=& {\color{brown}{(-4)+(-7)}}+{\color{blue}{(+8)+(+6)}} \\
&=& {\color{brown}{(-11)}}+{\color{blue}{(+14)}} \\
&=& {\color{brown}{\boxed{~~(+3)~~}}} \\
\end{array}$$

2°) Calcul de $B=(-3,5)+(-3)+(+4,5)+(+3)+(-7)+(+4)$.
$\bullet$ On élimine les opposés :
$$\begin{array}{rcl}
B&=&(-3,5)+(-3\!\!\!\!{\color{brown}{\Large /}})+(+4,5)+(+3\!\!\!\!{\color{brown}{\Large /}})+(-7)+(+4)\\
&=& (-3,5)+(+4,5)+(-7)+(+4) \\
&=& {\color{brown}{(-3,5)+(-7)}}+{\color{blue}{(+4,5)+(+6)}} \\
&=& {\color{brown}{(-10,5)}}+{\color{blue}{(+10,5)}} \\
&& \text{Somme de deux nombres opposés}\\
\text{Donc}&& {\color{brown}{\boxed{~~B=0~~}}} \\
\end{array}$$
$\blacktriangle$

2. Simplification des écritures

L’utilisation et le respect des parenthèses sont très importants pour l’apprentissage des opérations sur les nombres relatifs. Néanmoins, très vite, nous allons nous « débarrasser » de ces parenthèses pour simplifier les écritures.

Exemples
$A=(-5)+(-4)+(+8)+(+5)+(-7)+(+6)=-5-4+8+5-7+6$.
$B=(-3,5)+(-3)+(+4,5)+(+3)+(-7)+(+4)=-3,5-3+4,5+3-7+4)$.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°3.
1°) Calculer $A=(-2,5)+(-4,5)+(+3,2)+(+2,5)+(-7,5)+(+6,8)$.
2°) Calculer $B=(-23,5)+(-13)+(+14,5)+(+13)+(-17)+(+24)$.

A terminer.

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