Pour encadrer un nombre en utilisant les entiers les plus proches ou bien des nombres décimaux les plus proches à une position donnée, nous avons besoin de la notion de troncature et d’arrondi à l’unité, au dixième ou encore au centième près, etc.
Pour écrire les propriétés des troncatures et arrondis d’un nombre décimal, nous utiliserons les symboles des inégalités.
1. Troncature d’un nombre décimal
Tronquer = couper. Encore faut-il savoir où doit-on couper ?
1.1. Troncature à l’unité d’un nombre décimal
Définition 1.
Tronquer un nombre décimal à l’unité, revient à supprimer tous les chiffres à droite du chiffre des unités.
La troncature à l’unité d’un nombre décimal est égale à sa partie entière.
Exemple 1.
1°) Déterminer la troncature à l’unité $T$ de $17,365$.
2°) Déterminer la troncature à l’unité $T’$ de $36$.
Corrigé.
1°) La troncature à l’unité d’un nombre décimal est égale à sa partie entière. Donc, la troncature $T$ à l’unité de $17{\color{\red}{,365}}$ est :$$\boxed{~~T=17~~}$$
2°) $36$ est un nombre entier, il est égale à sa partie entière. Donc, la troncature $T$ à l’unité de $36$ est :$$\boxed{~~T’=36~~}$$.
Remarque.
La troncature d’un nombre décimal est toujours inférieure ou égale à ce nombre. C’est le plus grand entier inférieur à ce nombre décimal.
1.2. Troncature au dixième d’un nombre décimal
Définition 2.
Tronquer un nombre décimal au dixième, revient à supprimer tous les chiffres à droite du chiffre des dixièmes sans se soucier du chiffre suivant.
Exemple 2.
Déterminer la troncature au dixième $T_1$ de $17,365$.
Corrigé.
Pour trouver la troncature au dixième du nombre $17,3{\color{\red}{65}}$, je supprime tous les chiffres après le chiffre 3 des dixièmes. Donc :$$\boxed{~~T_1=17,3~~}$$
2. Arrondi d’un nombre décimal
2.1. Arrondi à l’unité près d’un nombre décimal
Définition 3.
L’arrondi à l’unité d’un nombre décimal est le nombre entier le plus proche de ce nombre à l’unité près.
Propriété 1.
Pour déterminer l’arrondi à l’unité près d’un nombre décimal, on regarde le chiffre suivant :
$\bullet\ $ Si le chiffre des dixièmes est inférieur à $5$, l’arrondi à l’unité est égal à la troncature.
$\bullet\ $ Si le chiffre des dixièmes est supérieur ou égal à $5$, on augmente le chiffre des unités de $1$.
Exemple 3.
1°) Déterminer l’arrondi à l’unité près du nombre décimal $23,72$.
2°) Déterminer l’arrondi à l’unité près du nombre décimale $15,297$.
Corrigé.
1°) Arrondi à l’unité de $23,{\color{\red}{7}}2$. Le chiffre des dixièmes est un $7\geqslant 5$, donc on augmente le chiffre des unités de $1$.
Donc, l’arrondi à l’unité du nombre décimal $23,72$ est égal à $24$.
2°) Arrondi à l’unité de $15,{\color{\red}{2}}97$. Le chiffre des dixièmes est un $2<5$, donc l’arrondi à l’unité du nombre décimal $15,297$ est égal à $15$.
2.2. Arrondi au dixième près d’un nombre décimal
Définition 4.
L’arrondi au dixième d’un nombre décimal est le nombre décimal le plus proche de ce nombre au dixième près.
Propriété 1.
Pour déterminer l’arrondi au dixième près d’un nombre décimal, on regarde le chiffre suivant :
$\bullet\ $ Si le chiffre des centièmes est inférieur à $5$, l’arrondi à l’unité est égal à la troncature.
$\bullet\ $ Si le chiffre des centièmes est supérieur ou égal à $5$, on augmente le chiffre des dixièmes de $1$.
Exemple 4.
1°) Déterminer l’arrondi au dixième près du nombre décimal $23,72$.
2°) Déterminer l’arrondi au dixième près du nombre décimale $15,297$.
Corrigé.
1°) Arrondi au dixième près de $23,7{\color{\red}{2}}$. Le chiffre des centièmes est un $2<5$. Donc, l’arrondi au dixième du nombre décimal $23,72$ est égal à sa troncature au dixième près : $23,7$.
2°) Arrondi au dixième près de $15,2{\color{\red}{9}}7$. Le chiffre des centièmes est un $9\geqslant5$, donc l’arrondi au dixième du nombre décimal $15,297$ est égal à la troncature au dixième près, augmentée de $0,1$, c’est-à-dire : $15,3$.
3. Encadrer un nombre décimal
Encadrer un nombre décimal $N$, c’est trouver deux « bornes ». Une borne $a$ située à gauche, est inférieure ou égale à ce nombre ; et l’autre borne $b$ située à droite, est supérieure à ce nombre.$$\boxed{~~a\leqslant N< b~~}$$
Définition 5.
On appelle amplitude d’un encadrement, la différence entre les 2 bornes inférieure et supérieure de cet encadrement : $$\text{amplitude }=b-a$$
Propriété 3.
Pour réaliser un bon encadrement, il faut respecter les règles suivantes :
1°) Définir la précision souhaitée de l’encadrement : à l’unité, au dixième, au centième, etc.
2°) La borne inférieure est toujours égale à la troncature du nombre à la position souhaitée : unité, dixième, centième, etc.
3°) La borne supérieure est égale à la troncature $+$ 1 unité ; ou $+$ 1 dixième ; ou $+$ 1 centième, etc.
4. Exercice corrigé
Exercice résolu n°1.
1°) Encadrer $3,75$ par les deux nombres entiers.
2°) Encadrer $3,75$ par les nombres entiers consécutifs.
3°) Encadrer $3,75$ au dixième près.