Comparer deux nombres $a$ et $b$ revient à dire si $a=b$ ou que $a$ est plus petit que $b$ ou bien que $a$ est plus grand que $b$.
Le symbole « $=$ » désigne une égalité entre deux nombres. Les symboles « $<$ » ou « $>$ » ou « $\leqslant$ » ou encore « $\geqslant$ » désignent une inégalité entre deux nombres.

1. Symboles de comparaison des nombres

1.1. L’égalité

La notation « $a=4$ » se lit « $a$ est égal à 4 ». C’est une égalité. Elle est composée de deux parties appelées membre de gauche et membre de droite. Dire que « $a=4$ » signifie que les deux membres à gauche et à droite sont des nombres et ont la même valeur $4$.

Exemple 1. L’égalité : $6\times8=30+16$ est-elle vraie ou fausse ?

Corrigé
Il suffit de calculer la valeur exacte de chacun de ses deux membres.
$\bullet$ A gauche : $6\times8=48$
$\bullet$ A droite : $30+16=46$.
Le membre de gauche est différent du membre de droite.
Donc cette égalité est fausse. On peut donc conclure : $$6\times8\not=30+16$$ Lire « $6\times8$ est différent de $30+16$ ».

1.2. Inégalités strictes

Définitions 1.
Une inégalité entre deux nombres $a$ et $b$ permet de savoir lequel est plus petit ou bien lequel est plus grand.
$\bullet$ L’inégalité « $2 < 3$ » signifie que « 2 est plus petit que 3 ». On dit aussi que « 2 est inférieur à 3 ».
$\bullet$ De même « $5 > 4$ » signifie que « 5 est plus grand que 4 ». On dit aussi que « 5 est supérieur à 4 ».
Ce sont des inégalités strictes car les deux membres ne sont pas égaux.

Exemple 2. Citez tous les nombres entiers naturels $a$ qui vérifient l’inégalité $a<5$.

Corrigé
Les nombres entiers naturels sont : $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $\ldots$ jusqu’à l’infini.
Les seuls nombres entiers naturels $a$ qui vérifient $a<5$ sont : $$\boxed{~~0~;~1~;~2~;~3~;~4~~}$$ $5$ n’en fait pas partie car $5$ n’est pas plus petit que $5$ ; on écrit : $5\not<5$.

1.3. Inégalités larges

Définitions 2.
Le symbole $a\leqslant 8$ signifie que « $a$ est plus petit ou égal à $8$ » ou encore « $a$ est inférieur ou égal à $8$ ». On a donc : $$a\leqslant 8\quad\text{signifie}\quad a<8~~\text{ou}~~a=8$$
De même, le symbole $a\geqslant 3$ signifie que « $a$ est plus grand ou égal à $3$ » ou encore « $a$ est inférieur ou égal à $3$ ». On a donc : $$a\geqslant 3\quad\text{signifie}\quad a>3~~\text{ou}~~a=3$$
Ces inégalités $a\geqslant 3$ et $a\leqslant 8$ sont des inégalités larges ; les bornes sont comprises.

Exemple 3. Citer tous les nombres entiers $a$ tels que $a\geqslant 3$ et $a\leqslant 8$.

Si $a$ désigne un nombre entier tels que $a\geqslant 3$ et $a\leqslant 8$, alors : $a$ peut prendre les valeurs « comprises » entre $3$ et $8$ (bornes comprises). Donc, $a$ peut prendre les valeurs : $$\boxed{~~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8~~}$$

1.4. Doubles inégalités

Pour exprimer qu’un nombre $a$ est compris entre $3$ et $8$, on peut l’écrire de deux manières :

1ère manière. « $a\geqslant 3$ et $a\leqslant 8$ ».

Or, dire que $a\geqslant 3$ équivaut à dire $3\leqslant a$. (Lecture dans l’autre sens).
On peut donc « contracter » les deux inégalités en une double égalité comme suit :

2ème manière. « $3\leqslant a\leqslant 8$ ».

qu’on peut lire : « $a$ est compris entre $3$ et $8$ », au sens large (c’est-à-dire que les bornes sont comprises).

Bien sûr, on peut écrire aussi « $3<a<8$ », au sens strict (c’est-à-dire que les bornes sont exclues).

2. Exercices supplémentaires

Exercice n°1. Citer tous les nombres entiers $a$ vérifiant : $a\leqslant 10$.

Exercice n°2. Citer tous les nombres entiers $a$ vérifiant : $5\leqslant a\leqslant 10$.

Exercice n°3. Citer tous les nombres entiers $a$ vérifiant : $5<a\leqslant 10$.

Exercice n°4. Citer tous les nombres entiers $a$ vérifiant : $a>5$ et $a<10$.