1. Rappel : la numération décimale de position
Dans notre système de numération décimale, chaque chiffre possède une valeur qui dépend de sa position (son rang) dans l’écriture décimale de ce nombre.
Propriété 1.
Un nombre décimal se décompose en deux parties : une partie entière (à gauche de la virgule) ; une partie décimale (à droite de la virgule).
Exemple 1. On considère le nombre décimal $N=4734{,}245$.
La partie entière de $N$ (à gauche de la virgule) est : $4734$ ;
Sa partie décimale (à droite de la virgule) est : $0,245$.
2. Tableau des rangs (valeurs de position)
Propriété 2.
Dans l’écriture décimale d’un nombre décimal, la valeur d’un chiffre dépend de sa position (son rang) dans l’écriture décimale de ce nombre.
Exemple 2. On considère le nombre décimal $N=4734{,}245$. Donner la décomposition additive et multiplicative et écrire ce nombre en toutes lettres. Analyser les différentes positions du chiffre « 8 ». Conclure
| Mille | Centaines | Dizaines | Unités | , | dixièmes | centièmes | millièmes |
| $1000$ | $100$ | $10$ | $1$ | , | $0{,}1$ | $0{,}01$ | $0,001$ |
| 8 | 7 | 1 | 8 | , | 2 | 8 | 5 |
$N$ s’écrit suivant la décomposition additive et multiplicative d’un nombre décimal : $$\begin{array}{rl}N=&8718,285\\
N=&8\times 1000 +7\times 100+8\times 10+5\times1\\
&\text{ }+2\times 0{,}1+8\times 0{,}01+5\times 0{,}001\\ \end{array}$$ On peut aussi écrire $N$ suivant la décomposition additive : $$\begin{array}{rl}N=&8718,285\\ N=&8000 +700+80+5+0{,}2+0{,}08+0{,}005\\ \end{array}$$ Le nombre $N$ se lit : $N$ égal à Huit mille sept cents dix- huit et deux cents quatre-vingt cinq.
Ainsi, le premier « 8 » désigne le chiffre des mille, le deuxième « 8 » désigne le chiffre des unités et le troisième « 8 » désigne le chiffre des centièmes.
Conclusion.
Ceci signifie que la valeur d’un chiffre dépend de sa position (son rang) dans l’écriture décimale de ce nombre.
3. Cas particuliers importants
Propriété 3.
Ajouter un zéro à gauche de la partie entière d’un nombre décimal ou à droite de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre.
Exemple 3. $23,5=023,5=0023,5$.
En effet, $\begin{array}{rl}23,5=&2\times10+3\times1+5\times0{,}1\\
=&2\times10+3\times1+5\times\dfrac{1}{10}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl}0023,5=0\times100+2\times10+3\times1+5\times0{,}1\\
=&2\times10+3\times1+5\times\dfrac{1}{10}\\
=& \boxed{~23,5~}\end{array}$
$\begin{array}{rl}0023,5=0\times1000+0\times100+2\times10+3\times1+5\times0{,}1\\
=&2\times10+3\times1+5\times\dfrac{1}{10}\\
=& \boxed{~23,5~}\end{array}$
Par conséquent : $\boxed{~23,5=023,5=0023,5~}$
Exemple 4. $23,5=23,50=23,500$.
En effet, $\begin{array}{rl}23,5=&2\times10+3\times1+5\times0{,}1\\
=&2\times10+3\times1+5\times\dfrac{1}{10}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl}23,5=2\times10+3\times1+5\times0{,}1+0\times0{,}01\\
=&2\times10+3\times1+5\times\dfrac{1}{10}+0\times\dfrac{1}{100}\\
=& \boxed{~23,50~}\end{array}$
$\begin{array}{rl}23,500=2\times10+3\times1+5\times0{,}1+0\times0{,}01+0\times0{,}001\\
=&2\times10+3\times1+5\times\dfrac{1}{10}+0\times\dfrac{1}{100}+0\times\dfrac{1}{1000}\\
=& \boxed{~23,500~}\end{array}$
Par conséquent : $\boxed{~23,5=23,50=23,500~}$