Connaître les unités de la numération décimale (unités simples, dixièmes, centièmes, millièmes) et les relations qui les relient.
Voici un résumé clair et adapté au niveau sixième sur les unités de la numération décimale et les fractions décimales, avec les relations entre les différentes unités.
1. Les unités de la numération décimale
1.1. Partie entière et partie décimale
Définition 1.
Un nombre décimal est composé de deux parties : une partie entière (avant la virgule) et une partie décimale (après la virgule).
Propriété 1.
Tout nombre décimal s’écrit comme la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.
C’est pour cela que la partie décimale s’écrit : $0,\ldots$
Exemple : $47{,}362 = 47 + 0{,}362$.
- Partie entière : $47$.
- Partie décimale : $0{,}362$.
1.2. Les unités de la partie entière
| Milliers | Centaines | Dixaines | Unités |
|---|---|---|---|
| 1000 | 100 | 10 | 1 |
Chaque fois qu’on multiplie par 10, on passe à l’unité supérieure.
Chaque fois qu’on divise par 10, on passe à l’unité inférieure.
1.3. Les unités de la partie décimale (après la virgule)
| Dixième | Centième | Millième |
|---|---|---|
| 0,1 | 0,01 | 0,001 |
- 1 dixième = 0,1.
- 1 centième = 0,01.
- 1 millième = 0,001.
Chaque unité est 10 fois plus petite que la précédente :
- 1 dixième = 10 centièmes
- 1 centième = 10 millièmes
1.4. Les relations entre les différentes unités
- 10 dixièmes = 1 unité
- 10 centièmes = 1 dixième d’unité
- 10 millièmes = 1 centième d’unité
Exemples.
- $0{,}7 = 7$ dixièmes.
- $0,03 = 3$ centièmes.
- et $0,006 = 6$ millièmes.
2. Les fractions décimales
2.1. Les fractions décimales
Définition 2.
Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est égal à 1, 10, 100, 1000, etc.
En particulier, tout nombre entier s’écrit sous la forme d’une fraction décimale dont le dénominateur est égal à 1.
| Fraction | Écriture décimale |
|---|---|
| $\dfrac{3}{10}$ | $0,3$ |
| $\dfrac{47}{100}$ | $0,47$ |
| $\dfrac{6}{1000}$ | $0,006$ |
2.2. Toute fraction décimale s’écrit sous la forme d’un nombre décimal
Propriété 2.
$\bullet$ Toute fraction décimale peut s’écrire sous la forme d’un nombre décimal.
$\bullet$ Tout nombre décimal s’écrit sous la forme de fraction décimale.
$\bullet$ Tout nombre entier s’écrit sous la forme d’une fraction décimale dont le dénominateur est égal à 1.
Exemples
- $\dfrac{85}{1}=85=85{,}0$.
Tout nombre entier est égal à sa partie entière, donc sa partie décimale est égale à $0$. - $\dfrac{265}{10}=26{,}5$.
Pour diviser par $10$, on décale la virgule d’un chiffre vers la gauche. - $\dfrac{4567}{100}=45{,}67$.
Pour diviser par $100$, on décale la virgule de deux chiffres vers la gauche. - $\dfrac{4567}{100}=45{,}67$.
Pour diviser par $100$, on décale la virgule de deux chiffres vers la gauche.
2.3. Tout nombre décimal s’écrit sous la forme de fraction décimale
On compte le nombre de chiffres après la virgule. Puis on écrit la fraction décimale correspondante comme suit :
- $75 = 75$ unités, est un nombre entier $\rightarrow$ $75=\dfrac{75}{1}$.
- $4{,}5$. Un seul chiffre après la virgule $\rightarrow 4{,}5=45$ dixièmes $=\dfrac{45}{10}$.
- $25,87$. Deux chiffres après la virgule $\rightarrow 25{,}87 =2587$ centièmes $=\dfrac{2587}{100}$.
- $32{,}125$. Trois chiffres après la virgule $\rightarrow 32{,}125 =32125$ millièmes $=\dfrac{32125}{1000}$.
3. En résumé
- Un nombre décimal est composé d’une partie entière et d’une partie décimale.
- Les unités après la virgule sont : dixième, centième, millième.
- Chaque unité (à droite) est 10 fois plus petite que la précédente (à gauche).
- Une fraction décimale a un dénominateur entier et un dénominateur égal à 1, 10, 100, 1000…
- On peut passer facilement d’une fraction décimale à un nombre décimal et réciproquement.
4. Exercices résolus
Exercice 1 :
Pour chacun des nombres suivants, trouve l’écriture qui n’est pas égale aux trois autres.
| $25$ dixièmes | 2+$\dfrac{5}{10}$ | $\dfrac{25}{10}$ | $0,25$ |
| 325 centièmes | 32+$\dfrac{5}{100}$ | $\dfrac{325}{100}$ | $3,25$ |
| $482$ millièmes | $\dfrac{48,2}{100}$ | $\dfrac{4,82}{100}$ | $0,482$ |
Exercice n°2.
Écris sous la forme de nombre décimal.
a) 3 unités et 7 dixièmes
b) 25 unités, 0 dixième, 5 centièmes
c) 854 centièmes
d) 95 unités et 36 centièmes
e) 38 dixièmes et 9 millièmes
Exercice n°3.
Écris sous la forme d’une fraction décimale.
a) 3 unités et 7 dixièmes
b) 25 unités, 0 dixième, 5 centièmes
c) 854 centièmes
d) 95 unités et 36 centièmes
e) 38 dixièmes et 9 millièmes
Exercice n°4.
Relie chaque fraction à son écriture décimale et cherche l’intrus.
A. $\dfrac{7}{10}$ ; B. $\dfrac{34}{100}$ ; C. $\dfrac{34}{1000}$ ; D. $\dfrac{13}{10}$ ;
et E. $1,3$ ; F. $0,07$ ; G. $0,34$ ; H. $0,034$ ; I. $0,13$.