Très souvent, nous avons besoin de repérer, placer des points ou comparer des fractions sur une demi-droite dont l’unité doit être choisie pour les placer sur une demi-droite adaptée au problème posé.
1. Rappel : Qu’est-ce qu’une fraction ?
Définition 1.
Une fraction s’écrit sous la forme : $$\frac{a}{b}$$ où « $a$ » est le numérateur et « $b$ » est le dénominateur ($b \neq 0$).
Exemples $$\frac{3}{4}\quad ; \quad \frac{7}{5}\quad ; \quad \frac{2}{3}$$
2. Principe de la demi-droite graduée
Définition 2.
Sur une demi-droite graduée, on place un point origine $O$ correspondant à l’abscisse $0$, puis un point unité $I$ correspondant à l’unité $1$. Puis on place les unités multiples et sous-multiples sur la demi-droite graduée $(OI)$.
Par exemple. Si l’unité est $OI=$1cm, les unités multiples en cm sont 2 ; 3 ; 4 ; 5; etc. En divisant l’unité en 10 sous unités, on obtient le mm, avec 1mm = 0{,}1cm = $\dfrac{1}{10}$cm. Les unités sous-multiples sont alors : 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ;… etc. qui correspondent aux fractions : $\dfrac{1}{10}$ ; $\dfrac{2}{10}$ ; $\dfrac{3}{10}$ ; $\dfrac{4}{10}$ ; $\dfrac{5}{10}$ ; … etc.
On peut ainsi placer $\dfrac{3}{10}$cm = $3\times \dfrac{1}{10}$. Ce qui correspond à 3mm.
Propriété n°1.
Pour placer une fraction $\dfrac{a}b}$, on partage chaque unité en $b$ parts égales, puis on compte $a$ parts à partir de $0$. $$\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$$
3. Cas où le dénominateur partage l’unité
Exemple 1 : Placer $\dfrac{3}{4}$ sur une demi-droite graduée.
On partage chaque unité en $4$ parts égales. Chaque part vaut $\dfrac{1}{4}$. $$\dfrac{3}{4} = 3 \times \dfrac{1}{4}$$ On compte alors $3$ parts à partir de $0$, puis on place le point $A$
Astuce
On choisit astucieusement une unité $OI$ de longueur facile à diviser par le dénominateur. Pour représenter la fraction $\dfrac{3}{4}$, on prend $OI=$4cm. Donc $\dfrac{1}{4}=$1cm. Donc $\dfrac{3}{4}=$3cm.
Exemple 2 : Placer $\dfrac{5}{4}$ sur une demi-droite graduée. $$\frac{5}{4} = 1 + \dfrac{1}{4}$$ On place donc le point $B$ à une unité plus ( \frac{1}{4} ).
4. Cas où le dénominateur ne partage pas directement l’unité
Exemple 3 : Placer $\dfrac{2}{3}$ sur une demi-droite graduée.
On partage chaque unité en $3$ parts égales. Chaque part vaut $\dfrac{1}{3}$. $$\dfrac{2}{3} = 2 \times \dfrac{1}{3}$$ On compte donc $2$ parts à partir de $0$.
Exemple 4 : Placer $\dfrac{7}{3}$ sur une demi-droite graduée.$$\dfrac{7}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}$$ On place donc le point à deux unités plus ( \dfrac{1}{3} ).
5. Fractions égales à un entier
Si $a$ est un multiple de $b$, alors $a \div b$ est un nombre entier : $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div b}{1} = a \div b = \text{entier}$$
Exemple 5 : Placer $\dfrac{6}{3}$ sur une demi-droite graduée. $$\dfrac{6}{3} = 2$$ De même, $\dfrac{8}{4} = 2$, $\dfrac{10}{5} = 2$. Ces fractions se placent donc exactement sur les graduations entières de la demi-droite.
6. Méthode générale
Propriétés n°2.
Pour placer $\dfrac{a}{b}$ sur une demi-droite graduée :
1°) Partager chaque unité en $b$ parts égales ;
2°) Chaque part représente $\dfrac{1}{b}$ ;
3°) Compter $a$ parts à partir de $0$ ;
4°) Placer le point correspondant. $$\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}$$
8. À retenir
$$\begin{array}{rl}\dfrac{a}{b} &= a \times \frac{1}{b}\\
\dfrac{a}{b} &= \dfrac{a \div b}{1} \quad \text{si } b \text{ divise } a\\
\text{et}~~ \dfrac{a}{b} &= q + \dfrac{r}{b} \quad \text{avec } a = q \times b + r\\
\end{array}$$ où $q$ est le quotient entier et $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.
2. Exercices supplémentaires
Exercice n°1.
Placer $\dfrac{3}{5}$ sur une demi-droite graduée.
Exercice n°2.
Placer $\dfrac{11}{5}$ sur une demi-droite graduée.
Exercice n°3.
Placer $\dfrac{10}{4}$ sur une demi-droite graduée.
Exercice n°4.
Placer $\dfrac{3}{7}$ sur une demi-droite graduée.