Pour comparer et ranger des nombres décimaux, il suffit de comparer les parties entières et si elles sont égales, on compare les parties décimales en complétant par des 0 si c’est nécessaire.
1. Différentes écritures des nombres décimaux
1. Définitions
Définition 1.
Un nombre décimal est un nombre $a$ qui peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule.
Un nombre décimal se compose d’une partie entière (à gauche de la virgule) et d’une partie décimale (composée des chiffres à droite de la virgule). $$ a = \text{partie entière}, \text{partie décimale}$$
Propriété 1.
Tout nombre décimal s’écrit comme la somme de sa partie entière et sa partie décimale.
La partie décimale peut aussi s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
Exemple 1. On considère le nombre décimal : $12,345$.
1°) Écrire ce nombre en toutes lettres.
2°) Puis donner la partie entière et la partie décimale.
3°) Écrire ce nombre comme la somme de sa partie entière et sa partie décimale.
4°) Écrire ce nombre comme la somme de sa partie entière et sa partie décimale sous la forme de fraction décimale.
5°) Écrire ce nombre sous la forme d’une seule fraction décimale.
Corrigé.
1°) $12,345$ = $12$ unités et $345$ millièmes, ou encore : « Douze unités et trois cent quarante-cinq millièmes ».
2°) Décomposition en deux parties :
$\qquad\blacktriangleright$ partie entière = $12$ ;
$\qquad\blacktriangleright$ partie décimale = $0{,}345$.
3°) Partie entière + partie décimale : $$12,345=12 + 0,345$$
4°) Partie entière + partie fractionnaire : $$12,345=12+\dfrac{345}{1000}$$
5°) Écriture sous la forme d’une seule fraction décimale: $$12,345=\dfrac{12345}{1000}$$
Remarque
Faites attention ! La partie entière s’écrit $12$. Mais la partie décimale ne s’écrit pas 345, puisqu’elle est égale à « $345$ millièmes ». Donc, la partie décimale s’écrit « $345$ millièmes = $0,345$ » ou, sous la forme fractionnaire : « $\dfrac{345}{1000}$ ».
2. Comparaison et ranger des nombres décimaux
2.1. Symboles de comparaison
Définitions 1.
La notation « $2 < 3$ » signifie « 2 est plus petit que 3 ». On dit aussi que « 2 est inférieur à 3 ».
La notation « $5 > 4$ » signifie « 5 est plus grand que 4 ». On dit aussi que « 5 est supérieur à 4 ».
Bien sûr, la notation « $a=4$ » signifie « $a$ est égal à 4 ».
2.2. Méthode 1 : Comparer les parties entières
Propriété 2.
Si les parties entières de deux nombres décimaux sont différentes, alors le plus petit des deux est celui qui a la plus petite partie entière.
Exemple 2. Comparer les nombres décimaux suivants : $25,01$ et $19,899$.
Corrigé.
La partie entière du premier nombre est égale à : $25$ ;
La partie entière du deuxième nombre est égale à : $19$.
Comme $25>19$, on a : $$\boxed{~~25,01>19,899~~}$$
2.3. Remarque : Ajouter des zéros
Ajouter des zéros à droite de la partie décimale ne change pas le nombre. $$25,4=25,4{\color{brown}{0}}=25,4{\color{brown}{00}}\ldots\text{etc.}$$ Ainsi, si deux nombres décimaux n’ont pas la même « longueur » de leurs parties décimales, on peut toujours compléter par des zéros.
2.4. Méthode 2 : Mêmes parties entières. Comparer chiffre par chiffre
Propriété 3.
Si les parties entières de deux nombres décimaux sont égales, on compare les chiffres après la virgule un par un, de gauche à droite en complétant par des zéros si c’est nécessaire.
Exemple 3. Comparer les nombres décimaux suivants : $35,799$ et $35,9$
Corrigé.
Tout d’abord, ces deux nombres ont des parties entières égales à : $35$.
On compare leurs parties décimales chiffre par chiffre.
Mais leurs parties décimales n’ont pas la même « longueur ». Donc, on complète par des zéros. $$35,9=35,900$$
Comme $799<900$, on a : $$\boxed{~~35,9>35,899~~}$$
2.5. Ranger des nombres
Ranger plusieurs nombres dans l’ordre croissant signifie du plus petit au plus grand : $$a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_n$$
Ranger plusieurs nombres dans l’ordre décroissant signifie du plus grand au plus petit : $$a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_n$$
3. Exercices supplémentaires
Exercice n°1 : Comparer $8{,}7$ et $8{,}65$.
Exercice n°2 : Comparer $3{,}98$ et $4{,}01$.
Exercice n°3 : Ranger dans l’ordre croissant : $$3{,}41 ~;~3{,}14 ~;~3{,}04 ~;~3{,}041$$
Exemple 4 : Ranger dans l’ordre décroissant : $$12{,}5 ~;~12{,}05 ~;~12{,}55 ~;~12{,}15 ~;~12{,}51$$