Système linéaire de deux équations à deux inconnues

1. Système linéaire

Définition 1.
Soient $a$, $a’$, $b$, $b’$, $c$ et $c$ six nombres réels donnés.
Un système de deux équations linéaires du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ est formé de deux équations comme suit :
$$\boxed{\;\;(S)\quad \left\lbrace
\begin{array}{l}
ax+by=c\\
ax+by=c\\ \end{array}\right. \;\;}$$

1. Équation linéaire du premier degré à deux inconnues

Définition 2.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels donnés. on considère l’équation linéaire du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ : $\boxed{\;\;ax+by=c\;\;}$. On dit que le couple de nombres réels $(x_0;y_0)$ est un couple solution de l’équation $(E)$ si, et seulement si, on a l’égalité : $$\boxed{\;\;ax_0+by_0=c\;\;}$$
L’ensemble des solutions, noté ${\mathcal S}$, de cette équation est l’ensemble de tous les couples $(x;y$ pour lesquels l’égalité est vraie.

Attention, dans un couple de nombres réels $(x;y)$, l’ordre des termes est très importants. Pensez aux coordonnées d’un points du plan. $M(2;3)$ est le point d’abscisse $2$ et d’ordonnée $3$, alors que $N(3;2)$ est le point d’abscisse $3$ et d’ordonnée $2$. $M\not=N$.

Propriété 1.
Deux couples $(x;y)$ et $(x’;y’)$ sont égaux si, et seulement si, $x=x’$ et $y=y’$.


Définition 3.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,I,J)$.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels donnés, non tous nuls.
L’ensemble des points $M(x;y)$ du plan pour lesquels l’égalité est vraie, est soit vide, soit une droite $d$ du plan. L’équation : $$\boxed{\;\;(E)\quad ax+by=c\;\;}$$ s’appelle une équation cartésienne de la droite $d$.

REMARQUE

Ce type d’écriture donne la forme générale d’une équation de droite dans le plan.
Cette équation peut être remplacée par une équation équivalente, en ajoutant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres ; ou bien en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre différent de $0$.

EXEMPLES

($E_1$) $2x-3y-5=0$ est une équation linéaire du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$. On peut la transformer comme suit : $(E_1)\Leftrightarrow 2x-3y=5$.
$\bullet$ Le couple $(1;-1)$ est une solution de cette équation, car $2\times 1-3\times (-1)=2+3=5$.
$\bullet$ Le couple $(3;2)$ n’est pas solution de cette équation, car $2\times 3-3\times 2=6-6=0\not=5$.