Sens de variations d’une fonction. Fonction croissante, décroissante ou constante.


Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  9. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

1. Fonction croissante sur un intervalle $I$.

Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I ;J)$. Soit $I$ un intervalle contenu dans $D$.


Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.
Dire que $f$ est strictement croissante sur $I$, signifie que l’application de $f$ conserve le sens des inégalités, c’est-à-dire :
Pour tous nombres $a$ et $b\in I$ :
$$[\text{Si }a < b, \text{ alors }f(a) < f(b)]\quad\text{(inégalités strictes)}$$


2. Exercices résolus

Dans les trois exercices ci-dessous, on considère la fonction définie sur l’intervalle $D=[-2;4]$ par sa courbe représentative $C_f$ (Figure 1).

Exercices résolu n°1.
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_1$) : $f(x) \geqslant 1$.

Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) $f(x) \geqslant 1$.
On trace la droite $\Delta_1$ d’équation $y = 1$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus ou sur la droite $\Delta_1$.

Figure 3. Résolution graphique de l’inéquation $f(x)\geqslant1$

Les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus de la droite $\Delta_1$ d’équation $y=1$, sont tous les nombres réels $x$ compris entre $-1$ et $3$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)\geqslant 1 &\Longleftrightarrow & -1\geqslant x\geqslant3\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left[-1;3\right] \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 1$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\left[-1;3\right]\quad}}$$

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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner