Résolution de l’équation différentielle du mouvement sinusoïdal $y^”+\omega^2y=0$

3.2. Équation du mouvement sinusoïdal $y^”+\omega^2y=0$

Soit $\omega\in\R$. On considère l’équation différentielle : $y^”+\omega^2y=0$, où $y$ est une fonction du temps $t$, deux fois dérivable sur $\R$.
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre et à coefficients constants.

1ère étape. Résolution de l’équation linéaire sans second membre.

L’équation $(E)$ est déjà une équation différentielle linéaire sans second membre.

Les solutions d’une équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre sont de la forme $y=Ce^{\lambda t}$ où $\lambda \in\R$ donné et $C\in\R$.

On sait que si $y_1$ et $y_2$ sont deux solutions d’une équation différentielle linéaire sans second membre, alors toute combinaison linéaire de $y_1$ et $y_2$ est encore solution de cette équation.

Cherchons donc des solutions du type $y_1=\e^{\lambda t}$ correspondant à $C=1$.

Nous avons d’une part : $y’_1=\lambda \e^{\lambda t}$ et $y^”_1=\lambda^2\e^{\lambda t}$.

Et d’autre part, comme $y_1$ est solution de $(E)$ on obtient pour tout $t\in\R$ : $$\lambda^2\e^{\lambda t}+\omega^2 \e^{\lambda t} =0$$
Or pour tout $t\in\R$ : $\e^{\lambda t}\not=0$. On peut donc simplifier l’équation et obtenir : $$ \lambda^2+\omega^2=0$$
Si $\omega\not=0$ Cette équation d’inconnue $\lambda$ n’admet aucune solution réelle.
On pourrait s’arrêter là ! Eh beh NON !

Cette équation admet deux solutions complexes $$\lambda_1=i\omega~~\text{et}~~ \lambda_2=-i\omega~~\text{avec}~~i^2=-1. $$
Par conséquent, l’équation $(E)$ admet des solutions complexes de la forme : $$\boxed{~z_1(t)=C_1\e^{i\omega t}~\text{et}~z_2(t)=C_2\e^{-i\omega t}~}$$ qui sont deux solutions « indépendantes ».

2ème étape. Recherche de solutions réelles

Utilisons les formules d’Euler pour exprimer le cosinus et le sinus en fonction de l’exponentielle complexe.
$$\cos(\alpha)=\dfrac{\e^{i\alpha}+ \e^{-i\alpha}}{2}~~\text{et}~~ \sin(\alpha)=\dfrac{\e^{i\alpha}-\e^{-i\alpha}}{2i} $$
$\cos$ et $\sin$ sont des combinaisons linéaires de $z_1$ et $z_2$. Donc elles sont des solutions réelles et indépendantes. On peut le vérifier directement par le calcul.
Par conséquent, L’équation $(E)$ admet des solutions réelles de la forme : $$\boxed{~y_1(t)=A\cos(\omega t)~\text{et}~y_2(t)=B\sin(\omega t)~}$$ qui sont deux solutions « indépendantes ».

Conclusion. La solution générale $y$ de l’équation $(E)$ peut s’exprimer comme une combinaison quelconque de ces deux fonctions. $$\boxed{~y=A\cos(\omega t)+B \sin(\omega t)~}$$

3ème étape. Simplification et réduction de la solution générale

On sait que $y=0$ est une solution de l’équation $(E)$ qui correspond à $A=0$ et $B=0$.
On cherche à exprimer les solutions non nulles sous une forme plus réduite.
Supposons que $A\not=0$ ou $B\not=0$.
On pose $C=\sqrt{A^2+B^2}$. Donc : $C\not=0$. On peut donc écrire $y$ sous la forme :
$$y(t)= \sqrt{A^2+B^2}\left[\dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\cos(\omega t)+ \dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \sin(\omega t) \right]$$ ou encore $$y(t)= C\left[\dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\cos(\omega t)+ \dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin(\omega t)\right]$$
Or $-1\leqslant \dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\leqslant1$ et $-1\leqslant \dfrac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}\leqslant1$. De plus $$\left( \dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}} \right)^2+ \left( \dfrac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}} \right)^2 =1$$
Par conséquent, il existe un réel $\varphi\in]-\pi;+\pi]$ tel que $$\sin\varphi= \dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}~\text{et}~\cos\varphi=\dfrac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}$$
Ce qui donne : $$y=C\left(\sin\varphi\cos(\omega t)+\sin(\omega t)\cos\varphi\right)$$
Or on connaît nos formules trigonométriques pour calculer le sinus de $(a+b)$ : $$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$
Par conséquent, on obtient une forme réduite de $y$ comme suit : $$y=C\sin(\omega t+\varphi)$$
Conclusion. La solution générale de l’équation différentielle linéaire du second ordre et à coefficients constants $y^”+\omega^2y=0$, exprimée sous une forme réduite est : $$\boxed{~y=C\sin(\omega t+\varphi)~}$$