Calcul vectoriel et produit scalaire 1ère

Calcul vectoriel et produit scalaire

  1. Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.
  2. Bilinéarité, symétrie. En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité.
  3. Développement de $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\,||^2$. Formule d’Al-Kashi.
  4. Transformation de l’expression $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$

Capacités attendues

  1. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan ou dans l’espace.
  2. En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée (en utilisant la projection orthogonale, à l’aide des coordonnées, à l’aide des normes et d’un angle, à l’aide de normes).
  3. Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique.

Démonstrations

  1. Formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire).
  2. Ensemble des points M tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ (démonstration avec le produit scalaire).

Approfondissements possibles

  1. Loi des sinus.
  2. Droite d’Euler d’un triangle.
  3. Les médianes d’un triangle concourent au centre de gravité.


Calcul vectoriel et produit scalaire Terminale

L’extension à l’espace du produit scalaire de deux vecteurs donne un outil efficace pour les problèmes de distance et d’orthogonalité. Dans cette section, on continue de combiner les outils algébriques (vecteurs, produit scalaire) et la vision géométrique de l’espace, notamment autour de l’orthogonalité : orthogonalité de deux droites, d’un plan et d’une droite, projection orthogonale sur un plan ou sur une droite.

Contenus

  1. Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace. Bilinéarité, symétrie.
  2. Orthogonalité de deux vecteurs. Caractérisation par le produit scalaire.
  3. Base orthonormée, repère orthonormé.
  4. Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée. Expressions du produit scalaire et de la norme. Expression de la distance entre deux points.
  5. Développement de $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\,||^2$, formules de polarisation.
  6. Orthogonalité de deux droites, d’un plan et d’une droite.
  7. Vecteur normal à un plan. Étant donnés un point A et un vecteur non nul $\overrightarrow{n}$, plan passant par A et normal à $\overrightarrow{n}$.
  8. Projeté orthogonal d’un point sur une droite, sur un plan.

Capacités attendues

  1. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans l’espace.
  2. Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d’un point à une droite ou à un plan.
  3. Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs et mesures : longueur, angle, aire, volume.
  4. Étudier des problèmes de configuration dans l’espace : orthogonalité de deux droites, d’une droite et d’un plan ; lieux géométriques simples, par exemple plan médiateur de deux points.

Démonstration

  1. Le projeté orthogonal d’un point $M$ sur un plan $\mathcal P$ est le point de $\mathcal P$ le plus proche de $M$.

Approfondissements possibles

  1. Intersection d’une sphère et d’un plan, plan tangent à une sphère en un point.
  2. Sphère circonscrite à un tétraèdre.
  3. Fonction scalaire de Leibniz.