Propriétés des angles orientés

1. Angle de deux vecteurs colinéaires

Théorème 1.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Alors :
$$(P_0)~~:~ \boxed{\;(\vec{u};\vec{u})=0\;}~\text{et}~\boxed{\; (\vec{u};-\vec{u})=\pi\;}$$
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens si, et seulement si : $$ (P_1)~~:~ \boxed{\; (\vec{u};\vec{v})=0\;}$$
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires si, et seulement si : $$ (P_2)~~:~ \boxed{\; (\vec{u};\vec{v})=\pi\;}$$

Fig. 2a. Vecteurs colinéaires de même sens. 2b. De sens contraires

Cette première propriété permet de démontrer le parallélisme de deux droites ou l’alignement de trois points.

2. Relation de Chasles

Théorème 2. et définition.
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs non nuls du plan dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Alors :
$$(P_3)~~:~(\vec{u};\vec{v}) + (\vec{v};\vec{w}) = (\vec{u};\vec{w})$$ Cette égalité s’appelle le relation de Chasles pour les angles orientés.

EXEMPLE

Eexercice résolu n°1.
Déterminer une mesure de l’angle orienté $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OP})$.

Figure 3. 3 vecteurs OB (suivant Ox) OM à 45° et OP à 120°

D’après le relation de Chasles : $(\overrightarrow{OB} ;\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OM} ;\overrightarrow{OP})=(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OP})$
Donc : $\dfrac{\pi}{4}+(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OP})=\dfrac{2\pi}{3}$,
Donc : $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OP})=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{12}$.

Conclusion. La mesure de l’angle orienté cherchée est $$\boxed{\;(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OP})=\dfrac{5\pi}{12}\;}$$

3. Angles orientés et vecteurs opposés

Théorème 3.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Alors :
$$\begin{array}{lc}
(P_{4a}) & \boxed{\; (\vec{v};\vec{u}) =-(\vec{u};\vec{v}) ;} \\
(P_{4b}) & \boxed{\; (\vec{u};\vec{-v}) =\pi+(\vec{u};\vec{v}) ;} \\
(P_{4c}) & \boxed{\; (-\vec{u};\vec{v}) =\pi+(\vec{u};\vec{v}) ;} \\
(P_{4d}) & \boxed{\; (-\vec{u};-\vec{v}) =(\vec{u};\vec{v}) ;} \\
\end{array}$$

Eexercice résolu n°2.
Montrer que la somme des mesures (positives) des trois angles d’un triangle est égale à $\pi$.

Figure 4. ABC avec trois angles A, B et C

C’est une figure fermée. Donc j’écris, que l’angle orienté : $(\vec{u};\vec{u})=0$.
Par exemple : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB})=0$. Donc, d’après la relation de Chasles :
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB})=0$.

On utilise les opposés des vecteur pour écrire chaque angle avec la même origine, et dans le sens direct. Donc : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+(-\overrightarrow{CA},-\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{BC},-\overrightarrow{BA})=0$.

On utilise maintenant les propriétés $P_4$ pour supprimer les signes « moins ».
Ce qui donne : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+\pi+(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=0$.
Donc : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=-\pi$.
Or, $-\pi$ n’est pas une mesure principale, ni une mesure positive. La mesure principale associée est égale à $\pi$ (on rajoute un tour, soit $+2\pi$).
Conclusion : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=\pi$. $\blacktriangle$ CQFD.

3. Généralisation

Théorème 4.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ et $k$ et $k’$ deux nombres réels non nuls. Alors

$P_5$ : a) Si $k$ et $k’$ sont de même signe, alors $(k\vec{u};k$\vec{v})=(\vec{u};\vec{v})$ ;

b) Si $k$ et $k’$ sont de signes contraires, alors $(k\vec{u};k$\vec{v})=\pi+(\vec{u};\vec{v})$.

Faire les 4 cas de figure et conclure.

Exemple : Dans la figure suivante, les deux droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Déterminer la mesure de l’angle $(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE})$.

Figure 5. A—B \ C à 45° / D — E

C’est une figure ouverte. On sait que les deux droites (AB) et (DE) sont parallèles, donc les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires et de même sens.

Donc l’angle orienté : $(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE})=0$.

D’après la relation de Chasles :

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD})+(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DE})=0$.

On écrit les angles avec la même origine :

$(-\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})+(-\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})+(-\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DE})=0$

Donc, d’après les propriétés $P_4$, on a :

$\pi+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})+\pi+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})+\pi+(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DE})=0$.

Ce qui donne : $\pi+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})+(-\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})+(-\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DE})=0$

En remplaçant par les valeurs données, on a :

$\pi+\dfrac{2\pi}{3}+\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DE})=0$.

Donc : $\dfrac{12\pi+8\pi-3\pi}{12}+(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DE})=0$. Donc $\dfrac{17\pi}{12}+(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DE})=0$. Donc $(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DE})=-\dfrac{17\pi}{12}$ ; ce n’est pas une mesure principale. On rajoute $2\pi$.

Conclusion : La mesure principale de cet angle est : $(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DE})=\dfrac{7\pi}{12}$.

4. Cosinus et sinus d’un angle orienté

4.1. Notation modulo $2\pi$

Définition

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $x$ une mesure en radians de l’angle $(\vec{u};\vec{v})$. Alors pour tout $k\in\Z$, $$x+k\times 2\pi =x+k\times 2\pi$ est aussi une mesure de l’angle $(\vec{u};\vec{v})$ et on écrit :

$(\vec{u};\vec{v})=x$ (modulo $2\pi$) ou $(\vec{u};\vec{v})=x$ (mod $2\pi$) ou encore $(\vec{u};\vec{v})=x$ [$2\pi$].

si, et seulement si, il existe un $k\in\Z$ tel que $(\vec{u};\vec{v})=x+2k\pi$.

On dit également que : $(\vec{u};\vec{v})=x$ « à un multiple de $2\pi$ près ».

Exemple.

Si alors donc . Par conséquent :

[2] ou encore [2] et c’est la mesure principale.

4.2. Cosinus et sinus d’un angle orienté

Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé direct,C (O ;1) le cercle trigonométrique et M un point du cercle tel que : .

Figure 6. C(O ;1) A=proj(M)/x, B=proj(M)/y, I, J, x y

Définition

Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé direct,C (O ;1) le cercle trigonométrique et M un point du cercle tel que :. On appelle cosinus (resp. sinus) de l’angle orienté a, l’abscisse (rep. l’ordonnée) du point M dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Donc, le vecteurs’écrit :

Définition

Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé direct, alors le cosinus (resp. sinus) d’un angle orienté $(\vec{u};\vec{v})$, est égal au cosinus (resp. sinus) d’une mesure quelconque en radians de cet angle orienté.

4.3) Cosinus et sinus d’angles particuliers et angles associés.

Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé direct, ${\mathcal C}(O;1)$ le cercle trigonométrique et $M$ un point du cercle tel que : $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\alpha$.

a) $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=0$ [$2\pi$].

Donc le point $M$ est situé au point $I$ du repère. Comme $I(1; 0)$, on a :
$\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$.

b) $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\pi$ [$2\pi$].

Donc le point $M$ est situé au point $I’$, symétrique de $I$ par rapport à $O$. Comme $I'(–1;0)$, on a :
$\cos(\pi) = -1$ et $\sin(\pi) = 0$.

c) $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{2}$ [$2\pi$].

(Figure ci-dessous).

Donc le point $M$ est situé au point $J$ du repère. Comme $J(0;-1)$, on a :

$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$$

d) $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\dfrac{3\pi}{2}$ [$2\pi$] ou encore $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=-\dfrac{\pi}{2}$ [$2\pi$].

Donc le point $M$ est situé au point $J’$, symétrique de $J$ par rapport à $O$. Comme $J'(0;–1)$, on a :

$$\cos\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=0\text{ et }\sin\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=-1$$

e) $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{4}$ [$2\pi$].

Donc le quadrilatère $OAMB$ est un carré, et $OA = OB$. Si on applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OAM$ rectangle en $A$, on obtient :

$$OA^2+OB^2=OM^2$$

Donc $2 OA^2=1$. Ce qui donne $OA^2=\dfrac{1}{2}$. Donc : $OA=\dfrac{\pm1}{\sqrt{2}}$.
Or $OA >0$. Donc $OA=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Par conséquent :

$$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

e’) Angles associés à[2] : les angles symétriques par rapport aux axes.

Figure 7. Cercle trigo /8

Il est clair que :

$$\begin{array}{ccccc}
a &\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{-3\pi}{4}&\dfrac{-\pi}{4} \\
\cos a&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\sin a&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{array} $$

f) $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{3}$ [$2\pi$]

(Figure ci-dessous).

Le triangle $OIM$ est isocèle en $O$ et $a$ un angle de $60°$. Donc $OIM$ est équilatéral.

Le point $A$ est situé au pied de la hauteur issue de $M$ et de la médiatrice de $[OI]$. Donc $A$ est le milieu de $[OI]$. Donc $OA =\dfrac{1}{2}$. On en déduit que : $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$.

Connaissant $OA$ et $OM$, on applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OAM$ rectangle en $A$ et on obtient : $AM =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Par conséquent :

$$\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

f’) Angles associés à $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{3}$ [$2\pi$] : les angles symétriques par rapport aux axes.

Figure 8. Cercle trigo /6

Il est clair que :

$$\begin{array}{ccccc}
a &\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{2\pi}{3}&\dfrac{-2\pi}{3}&\dfrac{-\pi}{3} \\
\cos a&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2} \\
\sin a&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{array} $$

g) $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{6}$ [$2\pi$]

Une démonstration analogue montre que :

$$\begin{array}{ccccc}
a &\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{5\pi}{6}&\dfrac{-5\pi}{6}&\dfrac{-\pi}{6} \\
\cos a&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
\sin a&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2} \\
\end{array} $$

4.3) Cosinus et sinus des angles associés à un angle quelconque

Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé direct,C (O ;1) le cercle trigonométrique et M un point du cercle tel que : $(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{3}$ [$2\pi$]

$(\vec{\imath} ;\overrightarrow{OM})=x$ [$2\pi$].

Les angles associés à un angle orienté de mesure $x$ en radians sont les angles dont une meure est $– x$ ; $\pi – x$ ; $\pi + x$ ; $\dfrac{\pi}{2}-x$ ou $\dfrac{\pi}{2}+x$

a) Les angles de mesures $x$ et $– x$ :

A SUIVRE