Probabilités. Expérience aléatoire

1. Vocabulaire des probabilités

Aléatoire, adjectif
Imprévisible ; lié au hasard, arbitraire.

Aléa, nom commun
Au sens propre, tournure non-prévisible que peut prendre un événement.
Au sens commercial, risque financier ou industriel pris vis-à-vis d’un client dont la situation est soumise à une évolution incertaine. (Wikipédia).

Définitions 1.
1°) On dit qu’une expérience est aléatoire si elle vérifie les deux conditions suivantes :
$\bullet$ On peut déterminer parfaitement, par avance, toutes les issues possibles ;
$\bullet$ On ne peut pas prévoir, par avance, laquelle de ces issues sera réalisée.
Une issue est un résultat élémentaire de cette expérience.
2°) On appelle univers de l’expérience aléatoire, et on note $\Omega$ (lire Oméga), l’ensemble formé de toutes les issues possibles de cette expérience.
3°) Un événement est une partie de l’univers, formée d’une ou de plusieurs issues possibles.
4°) Un événement élémentaire est une partie de l’univers, formée d’une seule issue possible.

1.2. Exemples

Exemple 1.
Lancer un dé à 6 faces et noter le chiffre apparent sur la face supérieure, est une expérience aléatoire.

  • Il y a 6 issues possibles ;
  • L’univers de l’expérience est $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ ;
  • $A$ = “le résultat est pair” est un événement écrit en langage courant; qu’on peut exprimer en langage symbolique comme un ensemble : $A=\{2;4;6\}$.
  • $B$ = « le résultat est un $6$ » est un événement élémentaire écrit en langage courant; qu’on peut exprimer en langage symbolique comme un ensemble :$\{6\}$. Noter que « $6$ » est une issue possible, alors que l’événement $B$ est un ensemble qui contient cette seule issue.

Exemple 2.
Lancer une pièce de monnaie à 2 faces “Pile” ou “Face” et noter la face exposée, est une expérience aléatoire.

  • Il n’y a que 2 issues possibles ;
  • L’univers de l’expérience est $\Omega=\{P;F\}$;
  • $A$ = “le résultat est Pile” et $B$ = “le résultat est Face” sont des événements élémentaires écrits en langage courant; qu’on peut exprimer en langage symbolique : $A=\{P\}$ et $B=\{F\}$. $\Omega=\{P;F\}$ est aussi un événement.

Exemple 3.
Le tirage d’une boule dans une urne qui contient par exemple 10 boules de couleur et numérotées : 2 blanches $B_1$ et $B_2$ ; 3 rouges, $R_1$, $R_2$ et $R_3$ et 5 vertes $V_1$, $V_2$,$\ldots$, $V_5$, définit une expérience aléatoire à condition que toutes les boules soient de même dimension et indiscernables au toucher,$\ldots$ sinon,$\ldots$

  • Il y a 10 issues possibles ;
  • L’univers de l’expérience est $\Omega=\{B_1;B_2; R_1; R_2; R_3; V_1; V_2; V_3; V_4; V_5;\}$ ;
  • $R$ = “la boule tirée est rouge” est un événement qu’on peut aussi écrire : $R=\{R_1; R_2; R_3\}$.
  • $T$ = “la boule tirée porte le numéro $3$” est un événement qu’on peut aussi écrire : $B=\{R_3;V_3\}$.

Exemple 4.
Tirage d’une carte dans un jeu de $52$ cartes (pas de joker). Il y a deux couleurs, rouge et noir et quatre familles : Carreau, Coeur, Pique et Trêfle et il y a des numéros de 1 à 10 et des figures : Valets, Dames et Rois.

  • Il y a 52 issues possibles ;
  • L’univers $\Omega$ de l’expérience contient les 52 cartes ;
  • $A$ = “la carte tirée est un As” est un événement qui contient $4$ issues possibles ;
  • L’événement $F$ = “la carte tirée est une figure” contient $12$ issues possibles ;
  • L’événement $T$ = “la carte tirée est un Trêfle” contient $13$ issues possibles.

$A\cap B$ =”$A$ et $B$” = “la carte tirée porte un numéro impair et multiple de $3$”

Donc $A\cap B=\{3 ; 9\}$. $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles car $$A\cap B\not=\emptyset$$

$A\cup B$=”$A$ ou $B$” = “la carte tirée porte un numéro impair ou est multiple de $3$”.

Donc $$A\cup B=\{1; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9\}$$

Par contre : $A\cap C$ =”$A$ et $C$” = “la carte tirée porte un numéro multiple de $3$ et de $4$”

Donc $A\cap C =\emptyset$. Donc $A$ et $C$ sont deux événements incompatibles.

Cas particulier.

Si $A$ est un événement, alors $A$ et $\overline{A}$ sont deux événements incompatibles.

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