Notion de primitives
1. Primitive d’une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.
1.1. Définition d’une primitive
Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.
On appelle primitive de $f$ sur l’intervalle $I$, toute fonction $F$, définie et dérivable sur $I$ et telle que : $$\color{brown}{\boxed{~\text{Pour tout }~x\in I~ : F'(x)=f (x)~}}$$
Exemple
Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3$.
1°) Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x)=3x$, est une primitive de $f$ sur $\R$.
2°) Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x)=3x+5$, est une primitive de $f$ sur $\R$.
3°) En déduire la forme générale d’une primitive de $f$ sur $\R$.
1.2. Lien entre deux primitives d’une même fonction
Théorème 2.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$.
a) Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $f$ admet une infinité de primitives sur $I$.
b) Deux primitives quelconques de $f$ diffèrent d’une constante. Autrement dit :
Pour toute (autre) primitive $G$ de $f$ sur $I$, il existe une constante $C\in\R$ telle que : $$\boxed{~\text{Pour tout } x\in I :\quad : G(x)=F(x)+C}$$
Corollaire.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Soit $x_0\in I$ et $y_0\in \R$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$, vérifiant : $G(x_0)=y_0$. Cette égalité s’appelle une condition initiale.
Remarque
On dit que « $G$ est LA primitive de $f$ sur $I$ qui vérifie la condition initiale $G(x_0)=y_0$ »
Exemple
Exercice résolu n°2.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=3$.
« Une » primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $F(x)=3x+C$.
Pour déterminer « LA » primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition initiale $F(0)=5$,
2. Exercices résolus
Exercice résolu n°3.
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