Notion de primitives

1. Primitive d’une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.

1.1. Définition d’une primitive

Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.
On appelle primitive de $f$ sur l’intervalle $I$, toute fonction $F$, définie et dérivable sur $I$ et telle que : $$\color{brown}{\boxed{~\text{Pour tout }~x\in I~ : F'(x)=f (x)~}}$$

Exemple

Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3$.
1°) Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x)=3x$, est une primitive de $f$ sur $\R$.
2°) Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x)=3x+5$, est une primitive de $f$ sur $\R$.
3°) En déduire la forme générale d’une primitive de $f$ sur $\R$.

1°) La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3x$ est une primitive de $f$ sur $\R$ car pour tout $x\in\R$ : $F'(x)=3=f(x)$.

2°) Mais, alors, la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=3x+5$ est aussi une primitive de $f$ sur $\R$ car, on a aussi pour tout $x\in\R$ : $G'(x)=3=f(x)$.

3°) Plus généralement, toute fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=3x+C$, où $C$ est une constante réelle, est aussi une primitive de $f$ sur $\R$.
CQFD.$\blacktriangle$


1.2. Lien entre deux primitives d’une même fonction

Théorème 2.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$.
a) Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $f$ admet une infinité de primitives sur $I$.
b) Deux primitives quelconques de $f$ diffèrent d’une constante. Autrement dit :
Pour toute (autre) primitive $G$ de $f$ sur $I$, il existe une constante $C\in\R$ telle que : $$\boxed{~\text{Pour tout } x\in I :\quad : G(x)=F(x)+C}$$

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.
a) Soit $F$ est une primitive de $f$ sur $I$. Alors toute fonction $G$ définie sur $I$ par :
$G(x)=F(x)+C$, est une primitive de $f$ sur $I$. En effet, pour tout $x\in I$ :
$$G'(x)=(F(x)+C)’=F'(x)+(C )’=f(x)+0=f (x)$$
On a donc : $G’=f$ . Par suite, $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.

b) Soit $F$ est une primitive de $f$ sur $I$. Donc pour tout $x\in I$ : $F'(x)=f (x)$.
Soit $G$ est une autre primitive de $f$ sur $I$. Donc pour tout $x\in I$ : $G'(x)= f (x)$.
Mais alors, pour tout $x\in I$ : $$(G-F)'(x)=G'(x)-F'(x)=-f(x)-f(x)=0$$
Par conséquent, la fonction $G-F$ est constante sur $I$.
D’où, il existe une unique constante $C\in \R$ telle que : Pour tout $x\in I$ : $(G-F)(x)=C$, donc $G(x)-F(x)=C$, ou encore : $$\text{Pour tout }x\in I : G (x)=F(x)+C$$ CQFD. $\blacktriangle$

Corollaire.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Soit $x_0\in I$ et $y_0\in \R$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$, vérifiant : $G(x_0)=y_0$. Cette égalité s’appelle une condition initiale.

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Soit $F$ est une primitive de $f$ sur $I$. Soit $G$ toute autre primitive de $f$ sur $I$. Donc $$G(x)=F(x)+C,\quad C\in \R$$
On a les équivalences suivantes : $$G(x_0)=y_0\quad\text{(ssi)}\quad F(x_0)+C=y_0\quad\text{(ssi)}\quad C=y_0-F(x_0)$$
La valeur de la constante $C$ est déterminée d’une manière unique. D’où le résultat. CQFD.$\blacktriangle$

Remarque

On dit que « $G$ est LA primitive de $f$ sur $I$ qui vérifie la condition initiale $G(x_0)=y_0$ »

Exemple

Exercice résolu n°2.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=3$.
« Une » primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $F(x)=3x+C$.
Pour déterminer « LA » primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition initiale $F(0)=5$,

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=3$.
« Une » primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $F(x)=3x+C$.
Pour déterminer « LA » primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition initiale $F(0)=5$, il faut calculer la valeur de la constante $C$. On a : $$\begin{rcl}{
F(0)=5&\text{(ssi)}& 3\times0+C=5\\
&\text{(ssi)}& C=5\\
\end{array}$$ Par conséquent, la primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition initiale $F(0)=5$, est la fonction définie sur $\R$ par : $F(x)=3x+5$. CQFD.$\blacktriangle$


2. Exercices résolus

Exercice résolu n°3.


CQFD.$\blacktriangle$