1. Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Définition 9.
Soit $ \overrightarrow {u}$ un vecteur quelconque (non nul) et $k$ un nombre réel non nul. On appelle produit du vecteur $ \overrightarrow {u}$ par le nombre réel $k$, le vecteur noté $k \overrightarrow {u}$ ayant :
1°) la même direction que $ \overrightarrow {u}$ ;
2°) le même sens si $k>0$ ; et de sens contraire si $k<0$ ;
3°) une norme égale à $k$ fois la norme de $ \overrightarrow {u}$ si $k>0$ et à $(– k)$ fois la norme de $ \overrightarrow {u}$ si $k<0$.

Autrement dit :
Pour tour réel $k$ et tout vecteur $ \overrightarrow {u}$, on a : $$\lVert k \overrightarrow {u}\rVert=\lvert k\rvert\times \lVert \overrightarrow {u}\rVert$$

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Figure 7. Vecteurs colinéaires

Remarques.

Soit $k$ un nombre réel et $\overrightarrow {u}$ un vecteur du plan. Alors
1°) Si $k=0$ ou si $ \overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}$, alors : $\boxed{\; 0\cdot \overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}\quad\text{et}\quad k\cdot \overrightarrow {0}= \overrightarrow {0}\;}$
2°) Si $k\overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}$, alors : $k=0$ ou $\overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}$.

4. Calcul vectoriel

Théorème 8.
Pour tous vecteurs $ \overrightarrow {u}$, $\overrightarrow{v}$ et $ \overrightarrow{w}$ ; et tous nombres réels $a$ et $b$, on a les propriétés suivantes :
$P_5$ : On distribue la multiplication côté nombres réels :
$\qquad k( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k \overrightarrow{v}$.
$P_6$ : On distribue la multiplication côté vecteurs :
$\qquad (a+b) \overrightarrow{u}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{u}$.
$P_7$ : Multiplications successives d’un vecteur par des nombres :
$\qquad a(b \overrightarrow {u})=(a\times b) \overrightarrow {u}$.
$P_1$ : La multiplication par $1$ est neutre :
$\qquad 1 \overrightarrow {u}= \overrightarrow {u}$.


Exercices résolus

Exercice résolu n°3.
Reproduire les quatre vecteurs suivants et construire les vecteurs :
$\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{w}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{EF}$ puis $\overrightarrow{t}=2 -\dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{GH}$.

Exercice résolu n°2