Modes de génération d’une suite numérique


1. Différents modes de génération d’une suite numérique

Il existe plusieurs modes de génération d’une suite numérique $(u_n)$. Suites explicites : suites définies par la donnée d’une expression $f(n)$ en fonction du rang $n$. Suites récurrentes : suites définies par la donnée du premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et d’une formule du terme suivant $u_{n+1}$ en fonction du terme précédent $u_n$ ou des deux termes précédents $u_{n-1}$ et $u_{n}$.
On peut utiliser un mode de génération avec une calculatrice ou un ordinateur, avec un algorithme, un tableur, ou par des choix aléatoires du terme suivant dans un intervalle donné.
On peut aussi, utiliser un mode de génération géométrique d’une suite numérique. Compter les diagonales d’un polygone régulier à $n$ côtés, les cordes joignant $n$ points distincts d’un cercle,… etc.

1.1. Suites explicites

Dans ce premier mode de génération d’une suite numérique $(u_n)$, chaque terme $u_n$ de la suite est défini par une formule explicite $u_n=f(n)$ en fonction de $n$. On dit que la suite est définie explicitement ou que $(u_n)$ est une suite explicite.

Par exemple : pour tout $n\in\N$ : $u_n=n-\dfrac{1}{n}$. La fonction associée $f$ est définie sur $\R^{*}$ par : $f(x)=x-\dfrac{1}{x}$. La suite $(u_n)$ n’est pas définie pour $n=0$. Donc, la suite $(u_n)$ est définie à partir du rang $n=1$. On note $(u_n)_{n\geqslant 1}$. On peut calculer les premiers termes ou n’importe quel terme de rang donné.
$u_1=f(1)=1-\dfrac{1}{1}=0$.
$u_2=f(2)=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$.
$u_{10}=f(10)=10-\dfrac{1}{10}=\dfrac{99}{10},\,\ldots$ etc.

1.2 Suites récurrentes

Dans ce deuxième mode de génération d’une suite numérique $(u_n)$ est définie par la donnée de son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et d’une formule de récurrence. Alors, chaque terme $(u_n)$ s’écrit en fonction du terme précédent $(u_{n-1})$ ou encore $(u_{n+1})$ s’écrit en fonction du terme précédent $u_{n}$ (récurrence d’ordre 1).
On peut aussi définir une suite par la donnée des deux premiers termes et une expression en fonction des deux termes précédents. le terme $(u_{n+2})$ s’écrit en fonction des deux termes précédents $u_{n}$ et $u_{n+1}$ (récurrence d’ordre 2). etc.

1.3. Suites aléatoires

Chaque terme $u_n$ est défini comme un nombre aléatoire quelconque, choisi dans un intervalle donné. On utilise en général des fonctions sur un tableur ou une calculatrice telles que :

  1. La fonction =ALEA() sur Tableur donne un nombre aléatoire compris entre $0$ et $1$. On appuie sur F9 pour recommencer.
  2. La fonction =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) sur Tableur donne un nombre aléatoire entier compris entre $1$ et $6$. Cette fonction peut être utilisée dans la simulation d’un ou de plusieurs lancers de dés par exemple. On appuie sur F9 pour recommencer.
  3. Sur calculatrice Casio GRAPH : la commande Ran# génère un nombre décimal aléatoire dans l’intervalle $[0;1[$.
  4. Sur calculatrice TI : La commande NbrAléat permet de générer un nombre aléatoire dans l’intervalle $[0;1[$.
  5. La commande nbrAléaEnt(1,6) permet de générer un nombre aléatoire entier compris entre $1$ et $6$ et peut donc être utilisée pour simuler le lancer d’un dé.

1.4 Suites générées par une figure géométrique

Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets d’une figure géométrique.

Exemples

  1. Pour tout polygone régulier ayant $n$ côtés, on peut associer le nombre $d_n$ de diagonales [segments joignant deux sommets non consécutifs].
    Faites vos comptes pour $n=3$ ; $n=4$ ; $n=5$ ; $6$ ; etc…
    a) Trouver une formule de récurrence pour calculer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$.
    b) En déduire une formule explicite pour calculer $d_n$ en fonction de $n$.
  2. Dans un cercle $\mathcal C$ , on considère $n$ points deux à deux distincts.
    Déterminer le nombre de cordes [segments joignant deux sommets non consécutifs] joignant les $n$ points.

1.5. Suites générées par un tableur

Utiliser un tableur pour générer une suite explicite.
Chaque terme $u_n$ est défini par une formule explicite en fonction du rang $n$. Par exemple : $u_n=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+1}}$ :

ABC
1nu_n
20=(A2)/(RACINE(A2^2+1))
31=(A3)/(RACINE(A3^2+1))

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& A & B & C\\ \hline
1 & n & Un & \\ \hline
2 & 0 & \texttt{=(A2)/(RACINE(A2^2+1))} & \\ \hline
3 & n & Un & \\ \hline
\end{array}$$

Exemple

1.6 Suites générées par un algorithme

Chaque terme $u_n$ est défini par un algorithme en fonction de $n$.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.

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5. Exercices supplémentaires pour s’entraîner