Niveau : Collège. Pré-requis :

Nature des nombres. Ensembles de nombres

1) Les nombres entiers.

Un $\color{bleu}{\textit{nombre entier}}$ est un nombre qui n’a pas de partie décimale ou une partie décimale nulle. Un nombre entier sert à dénombrer ou compter des objets ou des individus. $\mbox{\AA}$

Définitions 1. On distingue deux types de nombres entiers :

1) Les entiers naturels : $0, 1, 2, 3, …, n, …$ dont l’ensemble est noté généralement $$\color{red}{\N = \{ 0, 1, 2, 3, …, n, …\} }$$

2) Les entiers relatifs : $ …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … $ dont l’ensemble est noté généralement $$\color{red}{\Z= \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, n, … \} }$$

Le « Z » provient de l’allemand « zahl » qui signifie « nombre ».

Définitions 2. On distingue trois types de nombres entiers relatifs :
– Le nombre nul noté : $0$.
– Les nombres entiers positifs sont composés d’un signe $+$ et d’une distance à zéro, qu’on appelle aussi la valeur absolue. Par exemple : $+25$ est entier positif de valeur absolue : abs($+25$) $=\abs{+25}=25$.
– Les nombres entiers négatifs sont composés d’un signe $-$ et d’une distance à zéro. Par exemple : $-5$ est entier négatif de valeur absolue : abs($-5$) $=\abs{-5}=5$.

Les nombres entiers relatifs jalonnent la droite graduée comme des bornes kilométriques

2) Les nombres décimaux

Définition 1. Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale de positions. Un nombre décimal est composé de deux parties : la partie entière et la partie décimale, séparées par une virgule.


1.2) Les fractions décimales

Une fraction décimale est un nombre qui s’écrit sous la forme $ \color{orange}{ \dfrac{a}{10^n}}$.
Par exemple : $\dfrac{3}{10}$, $\dfrac{237}{100}$, $\dfrac{385}{1000}$, sont des fractions décimales

Plus généralement :
Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale positionnelle. Les nombres décimaux sont les quotients d’entiers par des puissances de 10 et se présentent ainsi comme des rationnels particuliers.

1.2) Quotient exact

Définition 1 : Le quotient exact de la division du nombre a par le nombre non nul b s’écrit sous forme fractionnaire :

Définition 2 : Si a et b sont des entiers naturels (b non nul), alors on dit queab est une fraction, a est le numérateur et b est le dénominateur de la fraction.

Exemples : 85 et 47 sont des fractions, mais 2, 36n’est pas une fraction, mais un nombre en écriture fractionnaire.

a) Quotient exact

1.2) Quotient exact

Définition 1 : Le quotient exact de la division du nombre a par le nombre non nul b s’écrit sous forme fractionnaire : abDéfinition 2 : Si a et b sont des entiers naturels (b non nul), alors on dit queab est une fraction, a est le numérateur et b est le dénominateur de la fraction.Exemples :85 et 47 sont des fractions, mais 2, 36n’est pas une fraction, mais un nombre en écriture fractionnaire.