Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite

1. Comment déterminer le coefficient directeur d’une droite ?

Méthode 1 : Déterminer un coefficient directeur (méthode de l’escalier).

Exemple 1.



Choisir deux points A et B (sur la grille) de la droite. Dessiner le déplacement horizontal et le déplacement vertical sur la grille, alors : Donc Attention au sens des déplacements.

Exemple 2



Choisir deux points A et B sur la grille) de la droite. Dessiner le déplacement horizontal et le déplacement vertical sur la grille, alors : Donc Attention au sens des déplacements.

Exemple 3. Cas particulier :



Avec la même méthode, en avançant d’une unité (+1) sur l’axe horizontal, on obtient directement le coefficient directeur : Donc .

Méthode 2 : Dans le repère orthonormé (O ; I , J), on peut lire directement les coordonnées des points A et de B puis calculer le coefficient directeur a de la droite (AB).

Par exemple : Si A (1;3) et B (4 ;1), alors par définition

1.3) Comment tracer une droite connaissant son coefficient directeur et un point ?

Exemple : Tracer la droite D passant par le point A (–1; 2) et de coefficient directeur .

Méthode 1.  On se place dans un repère orthonormé (O ; I , J).

1°) Placer le point A.

2°) Dessiner le coefficient directeur en partant de ce point, par l’effet “escalier”.

3°) On obtient un deuxième point B de la droite.

4°) On trace la droite passant par ces deux points.

Méthode 2 : Tracer une droite connaissant son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.

1°) Placer l’ordonnée à l’origine sur l’axe des ordonnées ; on a un point A(0 ; b).

2°) Dessiner le coefficient directeur par la métode de l’escalier ;

3°) Puis tracer.

1.4) Coefficients directeurs et droites parallèles

Propriété: On considère deux droites D et D’ non parallèles à l’axe des ordonnées.

(P1) : Si D et D’ sont parallèles, alors elles ont le même coefficient directeur.

(P2) :Réciproquement : si D et D’ ont le même coefficient directeur, alors D et D’ sont parallèles.

II. Equations de droites

On considère le plan muni d’un repère(O, I, J).

2.1) Équation réduite d’une droite

1) Théorème

1°) Toute droite D non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme

a et b sont deux nombres réels. Cette équation est appelée l’équation réduite de la droite D. Le nombre a est le coefficient directeur de D et le nombre b est l’ordonnée à l’origine de D.

2°) Toute droite D parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme, où c est un nombre réel. Ce qui signifie que tous les points de la droite D ont la même abscisse x = c.



1°) D1 a pour équation y = – 2x + 3. Coefficient directeur a = –2 ; ordonnée à l’origine b = 3.


2°) D2 a pour équation y = 3 Coefficient directeur a = 0. D2 est parallèle à l’axe des abscisses. Ordonnée à l’origine b = 3.


3°) D3 a pour équation x = 2. D3 n’a pas de coefficient directeur. D3 est parallèle à l’axe des ordonnées.

Remarque très importante :

Toute droite D non parallèle à l’axe des ordonnées ayant pour équationest la représentation graphique d’une fonction affine. Définie par

2.2) Déterminer l’équation d’une droite à partir du graphique

Méthode 1 : Déterminer graphiquement l’équation de la droite ci-contre : 1°) Lire le coefficient directeur par la méthode de l’escalier si c’est possible ; 2°) Lire l’ordonnée à l’origine ; 3°) Donner l’équation de la droite.


Remarque : Il n’est pas toujours facile de lire avec précision ni le coefficient directeur ni l’ordonnée à l’origine, Alors , il faut repérer deux points de la droite sur la grille, trouver leurs coordonnées et appliquer la méthode suivante :

Méthode 2 : Déterminer l’équation d’une droite D connaissant deux de ses points :

1°) La droite D est oblique, donc son équation est de la forme y = a x + b.

2°) Repérer deux points de la droite sur la grille

3°) Calculer a en écrivant

4°) Pour calculer b, écrire que A (xA ; yA) D ou que B (xB ; yB) D.

III. Système de deux équations à deux inconnues

On considère le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).

Définition : Un système de deux équations à deux inconnues x et y est de la forme :

Ce système est formé des « équations générales » de deux droites D1 et D2.

Nous avons déjà vu ces systèmes en classes de 3ème et Seconde. On connaît deux méthodes pour les résoudre.

  • Méthode 1. « par substitution »
  • Méthode 2. « par combinaison »

La méthode 3est « graphique » permet de connaître le nombre de solutions du système, mais pas toujours les valeurs exactes des solutions lorsqu’ellent existent.

Un couple solution (x ; y) signifie que le point M de coordonnées (x ; y) appartient à ces deux droites. Donc M(x ; y) est le point d’intersection de ces deux droites lorsque c’est possible.

Pour trouver le coefficient directeur d’une droite d’équation générale : ax+ by = c ; on doit isoler y. On écrit : by = – ax + c ; donc si b 0, on obtient .

Donc le coefficient directeur de cette droite est :

Théorème :

Dans le plan rapporté à un repère (O ; I , J), les deux équations sont représentées par deux droites D1 et D2. On distingue trois cas possibles :

D1 et D2 sont sécantes : Le système admet un seul couple solution, formé des coordonnées du point d’intersection de D1 et D2.

D1 et D2 sont sécantes : Le système n’admet aucun couple solution.

D1 et D2 sont confondues : Le système admet une infinité de couples solutions, formé des coordonnées de tous les points de la droite D1=D2.