Les suites numériques

1. Vocabulaire et notations

1.1. Activité

Chercher les nombres manquants dans chacune des listes suivantes :
$L_1$ : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ;$\ldots$ ;$\ldots$;
$L_2$ : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ;$\ldots$ ;$\ldots$;
$L_3$ : 10 ; 13 ; 16 ; 19 ;$\ldots$ ;$\ldots$;
$L_4$ : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ;$\ldots$ ;$\ldots$;
$L_5$ : 0; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8;$\ldots$ ;$\ldots$;

1.2. Définitions d’une suite

Définition 1.
Une suite numérique est une liste de nombres réels « numérotés » avec les nombres entiers naturels en commençant soit à partir de $0$ ; soit à partir de $1$ ou de $2$.
La suite se note : $(u_n)$. Le nombre $u_n$ s’appelle le terme de rang $n$ ou le terme d’indice $n$ ou encore le terme général de la suite.

1.3. Différents modes de génération d’une suite numérique

Forme explicite.
Chaque terme $u_n$ est défini par une expression explicite en fonction de $n$.
par exemple : $u_n=2n+1$, suite qui donne tous les nombres entiers impairs.

Forme récurrente.
Le premier terme est donné. Puis, chaque terme $u_n$ est défini par une expression en fonction du terme précédent. Par exemple : $u_0=10$ et pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=2u_n+5$. On peut écrire une récurrence en fonction des deux termes précédents, des trois termes précédents. etc.

Forme aléatoire.
Chaque terme $u_n$ est défini comme un nombre aléatoire quelconque, pris dans $\R$ ou dans un intervalle prédéfini. Sur Calculatrice ou tableur, on peut utiliser des fonctions alea(), ran#, etc

Forme géométrique.
Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.

Avec un tableur.
Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.

Avec un algorithme.
Chaque terme $u_n$ est défini par un algorithme en fonction de $n$ ou en fonction du ou de quelques termes précédents.

Définition 2.
Une suite numérique est une fonction $u$ définie sur l’ensemble $\N$ des entiers naturels à valeurs dans $\R$, qui à tout entier naturel $n$ associe le nombre réel $u(n)$ (lire $u$ de $n$) qu’on note aussi $u_n$ et on lit « $U$-$N$ » comme deux lettres qui se suivent.
$$\begin{array}{rl}
u:&\N\longrightarrow\R\\
&n\longmapsto u(n)=u_n\\
\end{array}$$
Si $u_n$ est le terme général d’une suite, alors $u_{n-1}$ est le terme précédent et $u_{n+1}$ est le terme suivant du terme $u_n$.

Exemple

Exercice n°1. Déterminer les 2 nombres manquants dans la liste suivante :
$L_1$ : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ;$\ldots$ ;$\ldots$;

Les nombres de la liste $L_1$ définissent la suite des nombres entiers multiples de $3$. On peut écrire : $u_0=0$ est le premier terme ou le terme initial. Elle commence au rang $0$. $u_1=3$ est le deuxième terme de la suite. $u_2=6$ est le troisième terme de la suite…
Son terme général peut donc s’écrire : $u_n=3\times n$ ou encore $u_n=3n$. On peut calculer tous les termes suivants. $u_3=9$ ; $u_4=12$ ; $u_5=15$;…
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_1$ sont : $12$ et $15$.
On voit bien que son terme général s’écrit en fonction de $n$. On écrit : $u_n=u(n)$ ou $u_n=f (n)$, ou $f$ est une fonction définie uniquement sur l’ensemble des entiers naturels.

Remarque 

On aurait pu commencer cette suite au rang $1$. On écrit :
$u_1=0$ est donc le premier terme ou le terme initial de la suite.
$u_2=3$ est le deuxième terme de la suite. $u_3=6$ est le troisième terme de la suite…
Son terme général peut s’écrire : $u_n=3\times (n-1)$ ou encore $u_n=3(n-1)$.
On voit bien, ici aussi, que son terme général s’écrit encore en fonction de $n$.


Exercice n°2. Déterminer les 2 nombres manquants dans les listes suivantes :
$L_2$ : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ;$\ldots$ ;$\ldots$;
$L_3$ : 10 ; 13 ; 16 ; 19 ;$\ldots$ ;$\ldots$;

Les nombres de la liste $L_2$ et $L_3$ définissent aussi deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$. Cette fois, le terme suivant, de rang $(n+1)$, s’écrit en fonction du terme précédent, de rang $n$, de la manière suivante :

Pour la liste $L_2$ : $\left\lbrace\begin{array}{rl}
v_0&=1\\
v_{n+1}&=2\times v_n\\
\end{array}\right.$

D’une manière analogue, on obtient :
Pour la liste $L_3$ : $\left\lbrace \begin{array}{rll}
w_0&=10\\
w_{n+1}&=w_n+3\\
\end{array}\right.$
Ainsi on peut calculer les termes suivants pas à pas :

Comme $v_0=1$, on obtient :
$v_1=2\times v_0=2\times 1=2$ ;
$v_2=2\times v_1=2\times 2=4$ ;
$v_3=2\times v_2=2\times 4=8$ ;
$v_4=16$ ; $v_5=32$ et $v_6=64$…
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_2$ sont : $32$ et $64$.

De même, $w_0=10$, on obtient :
$w_1=w_0+3=10+3=13$ ;
$w_2=w_1+3=13+3=16$ ;
$w_3=w_2+3=16+3=19$ ;
$w_4=22$ ; $w_5=25$ ;…
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_3$ sont : $22$ et $25$.

Exercice n°3. Déterminer les 2 nombres manquants dans la liste suivante :
$L_4$ : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ;$\ldots$ ;$\ldots$;

On voit bien, dans cette liste, pour passer d’un terme au suivant, on rajoute $1$ ou bien on multiplie le précédent par $2$.
On peut donc poser le premier terme $u_1=1$. et pour tout entier $n$ on définit $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ da la manière suivante :
$$u_{n+1}\left\lbrace \begin{array}{ll}
=u_n+1~~\text{si}~n~\text{est impair}\\
=2\times u_n~~\text{si}~n~\text{est pair}\\
\end{array}\right.$$

Comme $u_1=1$, on obtient :
$u_2=u_1+1=1+1=2$ ;
$u_3=2\times u_2=2\times 2=4$ ;
$u_4=u_3+1=4+1=5$ ;
$u_5=2\times u_4=2\times 5=10$ ;
$u_6=u_5+1=10+1=11$ ;
$u_7=2\times u_6=2\times 11=22$ ;
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_4$ sont : $11$ et $22$.

Exercice n°4. Déterminer les 2 nombres manquants dans la liste suivante :
$L_4$ : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ;$\ldots$ ;$\ldots$;

Pour la suite $L_5$, on suppose que les deux premiers termes $u_0$ et $u_1$ sont donnés. Essayez de trouver une relation entre chaque terme et les deux termes précédents. La suite des termes est : $0$; $1$; $1$; $2$; $3$; $5$; $8$;…

Testez cette relation : $$\begin{array}{ccccccccccccc}
0 & + &1 & = &1 & & & & & & & & \\
& &1 & + &1 & =& 2 & & & & & & \\
& & & & 1 & +&2 & =& 3 & & & & \\
& & & & & &2 & +& 3 & =& 5 & & \\
& & & & & & & &\ldots & \ldots & \ldots & & \\
\end{array}$$ Ce qui donne : $$\begin{array}{ccccccccccccc}
u_0 & + &u_1 & = &u_2 & & & & & & & & \\
& &u_1 & + &u_2 & =& u_3 & & & & & & \\
& & & & u_2 & +&u_3 & =& u_4 & & & & \\
& & & & & &u_3 & +& u_4 & =& u_5 & & \\
& & & & & & & &\ldots & \ldots & \ldots & & \\
\end{array}$$ Pour déterminer les termes suivants, on pose
$0+1=1$ ; $1+1=2$ ; $1+2 =3$ ; $2+3 =5$ ; $3+5 =8$ ; $5+ 8=13$ ; et $8+13=21$.
Ainsi, les deux termes manquants dans la liste $L_5$ sont : $13$ et $21$.

Remarque

Cette suite de nombres entiers est célèbre et s’appelle la suite de Fibonacci.
Elle donne le nombre de pétales possibles dans une fleur que peut donner une plante.


2. Deux types de définitions des suites numériques

Définition des suites explicites

Définition 3.
Une suite numérique $(u_n)$ est dite définie explicitement ou encore que $(u_n)$ est une suite explicite. s’il existe une fonction $f$ définie de $\N$ dans $\R$, telle que :
$$\color{brown}{\boxed{\;\text{pour tout}~~n\in\N : u_n=f(n)}\;}$$
La fonction $f$ s’appelle la fonction associée à la suite $(u_n)$.

Exemple :

Calculer les deux premiers termes, puis $u_{10}$ de la suite définie par $u_n=\dfrac{6}{n(n-1)}$.

Il est clair que $u_{n}$ est définie à partir de $n = 2$. $u_{n}$ et $u_{n}$ n’existent pas. Donc :

$u_2=\dfrac{6}{2(2-1)}=\dfrac{6}{2}=3$ ; $u_3=\dfrac{6}{3(3-1)}=\dfrac{6}{6}=1$ ; $u_{10}=\dfrac{6}{10(10-1)}=\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}$.

Définition des suites récurrentes :

Lorsqu’une suite $(u_n)$ est définie par la donnée d’un (premier) terme $u_0$ et par une relation qui permet de calculer chaque terme en fonction du terme précédent pas à pas. On dit que la suite est définie par formule de récurrence ou simplement « suite définie par récurrence » ou encore une « suite récurrence ».

Définition 2.

Soit $(u_n)$ une suite définie par récurrence. On peut exprimer la formule de récurrence de deux manières :

$$\left\lbrace\begin{array}{rl}

u_0&\in\R\quad\text{donné}\\

u_{n}&=g(u_{n-1}; n\geqslant 1\\

\end{array}\right.\quad\text{ou}\quad

\left\lbrace\begin{array}{rl}

u_0&\in\R\quad\text{donné}\\

u_{n+1}&=g(u_{n}; n\geqslant 0\\

\end{array}\right.$$ La fonction $g$ ainsi définie s’appelle la fonction associée à la suite $(u_n)$.

Exemple :

Calculer les deux premiers termes, puis $u_{10}$ de la suite définie par récurrence :

$$\left\lbrace\begin{array}{rl}

u_0&=1\\

u_{n+1}&=2u_n+3, n\geqslant 0\\

\end{array}\right.$$

En fait, la formule de récurrence exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.

La fonction $g$ associée est la fonction affine $g$ définie par $x\mapsto g(x)=2x+3$.

Comme $u_0=1$, on obtient : $u_1=2\times u_0+3=2\times 1+3=5$ ; $u_2=2\times u_1+3=2\times 5+3=13$ ; $u_3=2\times+3= 2\times 13+3=26$ ; $u_4=55$ ;$u_5=113$;…

Pour calculer $u_{10}$, il faut calculer $u_{9}$ et tous les termes précédents.

C’est trop long pour un calcul à la main ! On peut donc utiliser un tableur ou la calculatrice.

1.4) Avec un tableur

Pour calculer les termes d’une suite avec un tableur :

Suites définies explicitement

$$\lbrace\begin{array}{|c|c|c|}\hline

&A & B\\ \hline
1 & 0 & =u(A1) \\ \hline

2 & =A1+1 & =u(A2) \\ \hline

\end{array}$$

Sélectionner A2B2, puis tirer vers le bas, jusqu’à la valeur de n cherchée dans la colonne A. Les termes de la suite sont dans la colonne B.

Suites récurrentes

$$\lbrace\begin{array}{|c|c|c|}\hline

&A & B\\ \hline
1 & 0 & =u_0\quad\text{(donné)} \\ \hline

2 & =A1+1 & =u(B2) \\ \hline

\end{array}$$

Sélectionner A2B2, puis tirer vers le bas, jusqu’à la valeur de n cherchée dans la colonne A. Les termes de la suite sont dans la colonne B.

2.4) Avec une calculatrice

Texas : TI82 Stats et modèles sup. [E] = Enter [V]=Vert

Taper sur la touche MODE

Sélectionner SEQ ou SUITE

Sélectionner Y=, ou f(x)= , puis :

nMin=… Valeur du 1er rang = 0 ou 1

u(n)=…, Expression suite explicite

u(nMin)=…, Terme initial à rentrer pour une suite récurrente.

[ V ]TABLE, donne la table des valeurs.

Les flèches de directions permettent d’obtenir les valeurs suivantes.

Casio : Graph 35+ et modèles sup.

Taper sur la touche MENU

Sélectionner RECUR

Sélectionner TYPE (F3)

an = An+B , Définition explicite

an+1=Aan+Bn+C, Suite récurrente

an+2 = Aan+1+Ban+…, Suite récurrente du 2ème ordre… Hors pgm

Rentrer la formule, puis

(F5) SET, détermine début et fin du rang

et le terme initial, suites récurrentes.

(F6) TABLE, donne la table des valeurs.

2.5) Avec un algorithme

Soit $N$ un entier donné. Calculer la valeur du $N$-ème terme de suite récurrente de premier terme $u_0=1$ et pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+10$.

Déclaration de Variables

k un nombre entier

N un nombre entier

U un nombre

Traitement :

Début de l’algorithme

Lire N

Affecter à k la valeur 0

Affecter à U la valeur u0=1

Pour k allant de 1 à N

Debut de Pour

Affecter à U la valeur (1/2)*U +10

Fin de Pour

Afficher Message « U(» En gris, pour

Afficher N l’affichage à l’écran

Afficher Message « )= » de « U(N)= »

Afficher U

Fin de l’algorithme

2. Sens de variations

1.1) Suites croissantes, suites décroissantes

Définition 1 :

1°) La suite numérique $(u_n)$ est dite croissante (ssi) pour tout $n$ : $u_{n+1}\geslant u_{n}$ (ssi) pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_{n}\geslant0$ (méthode de la différence).

2°) La suite numérique $(u_n)$ est dite décroissante (ssi) pour tout $n$ : $u_{n+1}\leslant u_{n}$ (ssi) pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_{n}\leslant0$ (méthode de la différence).

3°) La suite numérique $(u_n)$ est dite constante (ou stationnaire) (ssi) pour tout $n$ : $u_{n+1}=u_{n}$ (resp. à partir d’un certain rang $n_0$).

4°) La suite numérique $(u_n)$ est dite monotone (ssi) elle est croissante ou décroissante.

Comment démontrer qu’une suite est croissante ou décroissante ?

Exemple :

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ de terme général : $u_n=1+\dfrac{1}{n}$, $n\geqslant 1$.

1ère méthode.
Je calcule la différence de deux termes consécutifs et je cherche son signe.

$$\begin{array}{rl}

u_{n+1}-u_{n}&=\left[1+\dfrac{1}{n+1}\right]-\left[1+\dfrac{1}{n}\right]\\

&=1+\dfrac{1}{n+1}-1-\dfrac{1}{n}\\

&=\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)}\\

u_{n+1}-u_{n} &=\dfrac{-1}{n(n+1)}<0\\

\end{array}

$u_{n+1}-u_{n}<0$ pour tout $n\geqslant 1$. Donc : $u_{n+1}<u_{n}$.

Par conséquent, la suite (un) est décroissante.

2ème méthode : on étudie le sens de variation de la fonction f associée à la suite (un).

Propriété 1. :

Si la suite $u_{n}$ est définie explicitement en fonction de $n$du type $u_{n}=f (n)$, la suite $(u_{n})$ a le même sens de variations que la fonction associée $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.

Exemple :

Étudier le sens de variation de la suite $u_{n}$ de terme général : u_n=1+\dfrac{1}{n}$, $n\geqslant 1$.

La fonction $f$ associée à cette suite est définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$, $x>$.

Or, on sait que la fonction inverse est décroissante sur $]0 ; +\infty[$, donc la fonction associée $f$ est aussi décroissante sur $]0 ; +\infty[$.

Par conséquent, la suite $u_{n}$ est décroissante.