Le raisonnement par implications
Pré-requis : L’implication logique.
1. Principe de démonstration d’une implication logique
Définition 2.
Soient $P$ et $Q$ deux propositions logiques. La démonstration d’une implication logique est fondée sur l’axiome suivant :
« Si une hypothèse $P$ est vraie et l’implication $P\Rightarrow Q$ est vraie, alors la conclusion $Q$ est vraie ».
Avec des symboles :
Si « $P$ est vraie » et « $P\Rightarrow Q$ est vraie », Alors « $Q$ est vraie ».
Pour démontrer qu’une implication est vraie, nous devons « supposer que l’hypothèse est vraie », puis trouver un enchaînement d’implications vraies qui utilisent les propriétés et théorèmes déjà connus, pour aboutir à la conclusion qui, par conséquent, devient vraie.
2. Le raisonnement par implications successives
La propriété suivante s’appelle la propriété de « transitivité de l’implication » et est à la base du « raisonnement par implication ».
Propriété fondamentale 1.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques.
Si « $P\Rightarrow Q$ » et « $Q\Rightarrow R$ », Alors « $P\Rightarrow R$ ».
On peut donc généraliser cette propriété à une suite de plusieurs propositions logiques, créant un un enchaînement de propositions logiques qui aboutissent à la conclusion.
Propriété 2.
Soient $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ quatre propositions logiques.
Si « $P_1\Rightarrow P_2$ » et « $P_2\Rightarrow P_3$ » et « $P_3\Rightarrow P_4$ » ; Alors « $P_1\Rightarrow P_4$ ».
Rédaction de la démonstration.
- 1ère étape :
Supposons que $P_1$ est vraie. - 2ème étape :
Nous avons les implications (successives) suivantes : $$\begin{array}{rcl}
P_1\text{ est vraie} &\Rightarrow & P_2\text{ est vraie ; (immédiat)}\\
&\Rightarrow & P_3\text{ est vraie ; car+justification}\\
&\Rightarrow & P_4\text{ est vraie ; d’après tel théorème.}\\
\end{array}$$ - 3ème étape :
Conclusion. La propriété $P_4$ est vraie.
Remarque.
En général, dans une suite de propositions logiques, nous utilisons des « mots de liaison ».
Le « implique » (ou le symbole $\Rightarrow$) est remplacé par un « donc », un « alors » ou un « par suite », ou encore en dernier, par un « d’où » ou un « par conséquent ». Ces mots de liaison désignent des implications logiques élémentaires (évidentes) ou qui se déduisent de propriétés ou théorèmes déjà connus.
Cet enchaînement d’implications logiques s’appelle un « raisonnement par implications successives ».
Nous devons suivre cette même construction dans nos raisonnements utilisant les propriétés et théorèmes connus : Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires, Théorème de Thalès, Théorème de Pythagore, Théorème de la droite des milieux,… etc.
3. Autres techniques
Pour démontrer une implication logique, on peut commencer, à partir des hypothèses, par démontrer un « petit résultat utile », un résultat intermédiaire (nous l’appellerons plus tard un « lemme ») qui nous aide à démontrer que notre conclusion est vraie.
Nous pouvons également, commencer par transformer et remplacer la proposition $P$ (l’hypothèse) par une proposition équivalente $P’$ plus utile à la démonstration ; ou la conclusion $Q$ par une proposition équivalente. $Q’$ plus simple.
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Démontrer que $$(y+x^2y=3) \Rightarrow \left(y=\dfrac{3}{1+x^2}\right)$$
Exercice résolu n°2. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
L’implication : $$(y+xy=7) \Rightarrow \left(y=\dfrac{7}{1+x}\right)$$ est-elle vraie ?
Justifier votre réponse.
Exercice résolu n°3.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$.
Démontrer que : Si la droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$, alors $\Delta$ est parallèle à $(AB)$.
5. Exercices supplémentaires pour s’entraîner
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