Le raisonnement par équivalences

1. Propositions logiques équivalentes

Définition 1.
Soit $P$ et $Q$ deux propositions logiques. Nous dirons que les deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes et on note :
$$P\Leftrightarrow Q$$
si, et seulement si, elles sont toutes les deux vraies, ou toutes les deux fausses simultanément. Nous écrirons aussi :
$$\begin{array}{lcr}
&P\text{ équivaut à } Q&\\
ou & P\text{ est équivalente à } Q&\\
\text{ou encore}\quad&P\text{ si, et seulement si, } Q&\\
\end{array}$$

Cette dernière phrase peut se lire : « $P$ est vraie si, et seulement si, $Q$ est vraie ».

Propriété 1.
Soit P et Q deux propositions logiques. Nous dirons que les deux propositions P et Q sont équivalentes si, et seulement si, on a la double implication :
$$(P\Rightarrow Q)\;\text{et}\;(Q\Rightarrow P)$$

Autrement dit : Si l’une est vraie, alors l’autre est vraie et si l’une est fausse, alors l’autre est fausse.

Exemple 1.
Soit $x$ un nombre réel. L’équivalence logique : $$(x=2)\Rightarrow (x+3=5)$$ est une proposition vraie.

Démonstration.
Soit $x$ un nombre réel.
($\Rightarrow$) Supposons que $x=2$.
On a alors : $x+3=2+3$.
Donc : $x+3=5$.
Par conséquent, l’implication ($\Rightarrow$) est vraie.

($\Leftarrow$) Réciproquement.
Supposons que $x+3=5$.
On a alors : $x+3-3=5-3$.
Donc : $x=2$.
Par conséquent, l’implication ($\Leftarrow$) est vraie.
Conclusion. Les deux propositions ($x=2$) et ($x+3=5$) sont donc équivalentes.

1. Principes de démonstration d’une équivalence logique

  • 1ère méthode.
    Raisonnement par double implication (Propriété n°1).
    Pour démontrer que deux propriétés $P$ et $Q$ sont équivalentes, nous démontrons que l’implication dans un sens $(P\Rightarrow Q)$ est vraie, puis que sa réciproque, l’implication dans l’autre sens $(Q\Rightarrow P)$ est également vraie.
    .
  • 2ème méthode directe.
    Raisonnement par équivalences successives (Propriété n°2).
    La propriété 2 qui suit, s’appelle la propriété de « transitivité de l’équivalence » et est à la base du « raisonnement par équivalences successives ».

Propriété 2.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques.
Si « $P\Leftrightarrow Q$ » et « $Q\Leftrightarrow R$ », Alors « $P\Leftrightarrow R$ ».

On peut donc généraliser cette propriété à une suite de plusieurs propositions logiques, créant un enchaînement d’équivalences logiques qui aboutissent à la conclusion.

2. Le raisonnement par équivalences successives

Propriété 2.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques.
Si « $P\Leftrightarrow Q$ » et « $Q\Leftrightarrow R$ », Alors « $P\Leftrightarrow R$ ».

Propriété 2.
Soient $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ quatre propositions logiques.
Si « $P_1\Rightarrow P_2$ » et « $P_2\Rightarrow P_3$ » et « $P_3\Rightarrow P_4$ » ; Alors « $P_1\Rightarrow P_4$ ».

Rédaction de la démonstration.

  • 1ère étape :
    Supposons que $P_1$ est vraie.
  • 2ème étape :
    Nous avons les implications (successives) suivantes : $$\begin{array}{rcl}
    P_1\text{ est vraie} &\Rightarrow & P_2\text{ est vraie ; (immédiat)}\\
    &\Rightarrow & P_3\text{ est vraie ; car+justification}\\
    &\Rightarrow & P_4\text{ est vraie ; d’après tel théorème.}\\
    \end{array}$$
  • 3ème étape :
    Conclusion. La propriété $P_4$ est vraie.

Remarque.
En général, dans une suite de propositions logiques, nous utilisons des « mots de liaison ».
Le « implique » (ou le symbole $\Rightarrow$) est remplacé par un « donc », un « alors » ou un « par suite », ou encore en dernier, par un « d’où » ou un « par conséquent ». Ces mots de liaison désignent des implications logiques élémentaires (évidentes) ou qui se déduisent de propriétés ou théorèmes déjà connus.
Cet enchaînement d’implications logiques s’appelle un « raisonnement par implications successives ».

Nous devons suivre cette même construction dans nos raisonnements utilisant les propriétés et théorèmes connus : Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires, Théorème de Thalès, Théorème de Pythagore, Théorème de la droite des milieux,… etc.

3. Autres techniques

Pour démontrer une implication logique, on peut commencer, à partir des hypothèses, par démontrer un « petit résultat utile », un résultat intermédiaire (nous l’appellerons plus tard un « lemme ») qui nous aide à démontrer que notre conclusion est vraie.

Nous pouvons également, commencer par transformer et remplacer la proposition $P$ (l’hypothèse) par une proposition équivalente $P’$ plus utile à la démonstration ; ou la conclusion $Q$ par une proposition équivalente. $Q’$ plus simple.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Démontrer que $$(y+x^2y=3) \Rightarrow \left(y=\dfrac{3}{1+x^2}\right)$$

Modèle de rédaction
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Supposons que $y+x^2y=3$ (*)
Il est clair que pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x^2$.
Or, il est interdit de diviser par $0$.
Donc il faut nous assurer que $1+x^2\not=0$.

« Petit résultat utile ».
On sait que pour tout nombre réel $x$ : $x^2$ est un nombre positif.
Donc : $x^2\geqslant 0$.
Donc : $1+x^2\geqslant 1+0$.
Donc : $1+x^2>0$, car $1>0$.
Par suite, pour tout nombre réel $x$ : $$1+x^2\not=0\quad(1)$$
Nous avons donc notre « petit résultat utile ».

Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+x^2y=3\quad\text{équivaut à}\quad y(1+x^2)=3\quad(2)$$
Pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x^2$.
Or, d’après $(1)$, on sait que : $1+x^2\not=0$.
Par conséquent, d’après $(2)$, on peut diviser et écrire :
$$y=\dfrac{3}{1+x^2}\quad(3)$$
Conclusion. On a bien : $$y=\dfrac{3}{1+x^2}$$

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Exercice résolu n°2. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
L’implication : $$(y+xy=7) \Rightarrow \left(y=\dfrac{7}{1+x}\right)$$ est-elle vraie ?
Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Supposons que $y+xy=7$ (*)
Il est clair que pour isoler $y$, il nous faut factoriser puis diviser par $1+x$.
Or, il est interdit de diviser par $0$.
Donc il faut nous assurer que $1+x\not=0$.

« Petit résultat utile ».
On sait que : $$1+x=0\text{ équivaut à }x=-1\quad(1)$$
Notre dénominateur risque de s’annuler si on prend $x=-1$.
Nous devons alors distinguer deux cas : $x=-1$ et $x\not=-1$ et étudier si notre conclusion est vraie « dans tous les cas ». Sinon, la conclusion ne serait pas vraie « pour tout réel $x$ ».
Nous avons donc notre « petit résultat utile ».

Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7$$
Donc $$y(1+x)=7\quad(2)$$
Pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x$.
Or, d’après $(1)$, on sait que : $1+x=0\text{ équivaut à }x=-1$.

1er cas : $x=-1$.
Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7$$
En remplaçant $x$ par $-1$, on obtient : $$y+(-1)y=7$$
Donc : $$y-y=7$$
D’où : $$0=7.$$
Ce qui est impossible.
Donc, notre conclusion est fausse pour $x=-1$.

2ème cas : $x\not=-1$. Donc : $1+x\not=0\quad(2)$.
Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7\quad\text{équivaut à}\quad y(1+x)=7$$
Par conséquent, d’après $(2)$, on peut diviser par $(1+x)$ et écrire :
$$y=\dfrac{7}{1+x}\quad(3)$$

Conclusion. L’implication est fausse, car il existe au moins un nombre réel $x$ pour lequel cette égalité $y=\dfrac{7}{1+x}$ est impossible. Il suffit de prendre $x=-1$.

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Exercice résolu n°3.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$.
Démontrer que : Si la droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$, alors $\Delta$ est parallèle à $(AB)$.

Modèle de rédaction :
Faire une figure à titre indicatif pour visualiser les données.

Supposons que : $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et la droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$.

Ici la prémisse est composée de deux données. Nous allons toutes les énumérer et les traduire avec des symboles.

$\bullet~(H_1)$ $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Donc :
$$(AB)\bot(AC)\quad(H_1)$$
$\bullet$ La droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$. Donc, $\Delta$ est perpendiculaire au segment $[AC]$ et passe par son milieu. Donc, en particulier :
$$\Delta\bot(AC)\quad(H_2)\$$

Donc par hypothèses $(H_1)$ et $(H_2)$, on a : $$\begin{array}{c}(AB)\bot(AC)\\ \Delta\bot(AC) \\ \end{array}$$
Or, on sait que [je (ré)cite la propriété] : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. »
Donc : $$\Delta\bot(AB)$$
Conclusion. La droite $\Delta$ est parallèle à $(AB)$.

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5. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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