Le nombre d’or

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Le nombre d’or ou divine proportion est né d’une hypothèse de Platon (« le nombre géométrique » au IV$^e$ siècle av. J.C.) et d’un théorème d’Euclide sur le découpage d’un segment en « extrême et moyenne raison » au III$^e$ siècle av. J.C.). Ce nombre définit une harmonie fondée sur la proportion et la symétrie. Il a connu un grand essor dans l’art après sa diffusion par Léonard de Vinci en dessinant « L’homme de Vitruve » qui respecterait à la perfection les proportions du nombre d’or.

Définition mathématique :

Le nombre d’or ou divine proportion est un nombre réel défini, en géométrie, comme la proportion entre deux longueurs $a$ et $b$ telles que le rapport $\dfrac{b}{a}$, de la plus grande valeur $b$ par la plus petite $a$, soit égal au rapport $\dfrac{a}{b-a}$, de la plus petite valeur $a$ par la différence $b-a$.

On considère quatre points $A$, $B$, $C$ et $M$ d’une droite tels que $AB = a$, $AC=b$ et $AM=b-a$ (Fig.1), on peut écrire : $$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB}{AM}\quad\textrm{ou}\quad \dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b-a} $$

Figure 1.

Le nombre $\dfrac{b}{a}$ s’appelle le nombre d’or et se note généralement $\Phi$ (lire « Phi »).

$$\color{red}{\boxed{\Phi = \dfrac{b}{a}= 1,61803398875…}}$$

Le nombre $\Phi$ s’appelle aussi la divine proportion. On dit aussi qu’on a divisé le segment $[AC]$ en extrême et moyenne raison. On le rencontre partout dans la nature, les plantes, dans les proportions entre la diagonale et le côté du pentagone régulier ou encore en architecture, dans les proportions des différentes parties du Parthénon et même dans la pyramide de Khéops. On le retrouve également dans le corps humain : entre la hauteur du corps et la hauteur de la plante des pieds au nombril ; entre la hauteur et la largeur de la tête (une « belle » tête), entre les phalanges consécutives des doigts de la main, entre la largeur de la bouche et celle du nez,.. entre une grande incisive (dent centrale, n°11 ou 21) et une incisive latérale (dent n°12 ou 22),…

Mieux encore : Depuis les temps anciens, l’être humain a utilisé certaines parties de son corps comme unités de mesure, on parle notamment des cinq mesures des bâtisseurs [1], ayant entre elles successivement un rapport égal au nombre d’or et dont certaines continuent à être utilisées actuellement dans le monde moderne. L’unité de mesure des longueurs dans le Système international étant bien sûr le mètre.

  • La paume est la largeur de la paume de la main (sans compter le pouce).
  • Le palme, désigne la distance entre l’extrémité de l’index et celle de l’auriculaire (doigts écartés), soit environ 12.36 cm. $\dfrac{\textrm{1 palme}}{\textrm{1 paume}} = \Phi…$
  • L’empan, est la largeur d’une main ouverte, du bout du pouce jusqu’au bout du petit doigt, soit environ 20 cm. $\dfrac{\textrm{1 empan}}{\textrm{1 palme}} = \Phi …$
  • Le pied, correspond environ à la taille d’un pied humain. C’est l’une des mesures les plus anciennes de l’histoire. Un pied (unité anglaise) fait : 1 ft = 0,3048 mètre. Dans les temps anciens, un pied de Roi (Charlemagne) mesurait 32,483 cm. $\dfrac{\textrm{1 pied}}{
    \textrm{1 empan}} = \Phi…$
  • La coudée, longueur du coude à l’extrémité du majeur ; mesure environ 50 cm. La coudée royale égyptienne mesure 52,24 cm. $\dfrac{\textrm{1 coudée}}{
    \textrm{1 pied}} = \Phi…$.

Au moyen âge, les bâtisseurs de Cathédrales étaient équipés de leur « Canne des Bâtisseurs », un long bâton sur lequel des encoches indiquaient les cinq mesures :

La coudée, le pied, l’empan, le palme et la paume.

Le nombre d’or a beaucoup été utilisé dans l’architecture. Actuellement, il est également utilisé dans certaines institutions pour recruter des mannequins ou des danseuses et est même utilisé en chirurgie esthétique pour la reconstruction des visages ou de certaines parties du visage.

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Calcul du nombre d’or

Un rectangle construit avec ces proportions s’appelle un rectangle d’or.
Un rectangle de longueur $b$ et de largeur $a$, est un rectangle d’or si et seulement si, lorsqu’on retire le plus grand carré (de côté $a$) inscrit dans ce rectangle, on obtient encore un rectangle d’or, de longueur $a$ et de largeur $b-a$, comme l’illustre la figure suivante :

Figure 2.

Pour calculer la valeur exacte de $\Phi$, on prend $[AB]$ comme unité, c’est-à-dire $a=1$ et on cherche la valeur de $b$ pour obtenir un rectangle d’or.
Posons : $b=x$.
Par définition, $x$ est une solution positive de l’équation : $$ \dfrac{x}{1} = \dfrac{1}{x-1} $$
Or, deux fractions sont égales si et seulement si, il y a égalité des produits en croix, donc, cette équation est équivalent à : $$x(x-1)=1$$ ou encore $$x^2-x-1=0\qquad (*)$$

1ère méthode : Résolution de l’équation (*) niveau classe de Seconde :

On s’arrange pour faire apparaître le début d’une identité remarquable.
$$\begin{array}{rcl} x^2-x-1 &=& x^2-2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)\times x -1 \\
&=& \left( x- \dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}-1 \\
&=& \left( x- \dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4} \\
&=& \left( x- \dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2\\
\end{array} $$

On reconnaît l’identité remarquable n°3, avec la différence de deux carrés. Or, on sait que : $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Donc $$\begin{array}{rcl}
x^2-x-1 &=& \left( x- \dfrac{1}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \\
&=& \left[ x- \dfrac{1}{2}- \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right] \left[ x- \dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{5}}{2} \right] \\
&=& \left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right) \left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)
\end{array} $$

Ainsi, l’équation (*) est équivalente à :
$$ \left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right) \left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = 0 $$
D’après le théorème du produit nul « Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses (ces) facteurs est nul ». Donc, cette équation est équivalente à :
$$x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=0\quad \textrm{ou} \quad x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} =0$$
ou encore à :
$$x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\quad \textrm{ou} \quad x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$$
Conclusion : Cette équation admet deux solutions réelles :
$$x_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \quad \textrm{et} \quad x_2 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} $$
La seule solution positive de l’équation (*) est $x_1$. Par conséquent, la valeur exacte du nombre d’or est :
$$\color{red}{\boxed{\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,61803398875…}}$$

2ème méthode : Résolution de l’équation (*) niveau classe de Première :

L’équation (*) s’écrit : $x^2-x-1=0$, c’est une équation du second degré avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-1$. On commence par calculer le discriminant $\Delta = b^2-4ac$. On obtient : $\Delta =5$. Le discriminant est strictement positif, donc l’équation (*) admet deux solutions réelles. Après calcul, on obtient :

$x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
et $x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

On aboutit exactement au même résultat.

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Division en extrême et moyenne raison (à l’intérieur) d’un segment $[AB]$

  • Construire un segment $[AB]$ de longueur $1$ (10cm comme unité).
  • Placer le point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit rectangle en $B$, avec $BC = \dfrac{1}{2}$
  • L’arc de cercle de centre $C$ et de rayon $CB$ coupe $[AC]$ et $E$.
  • Enfin, l’arc de cercle de centre $A$ et de rayon $AE$ coupe le segment $[AB]$ en $M$.
    1. Calculer $AM$.
    2. Montrer que $\dfrac{AB}{AM}=\Phi$.
    3. Conclure.
Figure 3.

Construction d’un rectangle d’or à la règle et au compas, ou d’une extrême et moyenne raison (à l’extérieur) d’un segment $[AB]$

  • Construire un segment $[AB]$ de longueur $1$ (10cm comme unité)
  • Compléter le carré $ABCD$.
  • Prolonger (à droite) les demi-droites $[AB)$ et $[DC)$.
  • Placer le point $E$, milieu du segment $[AB]$.
  • L’arc de cercle de centre $E$ et passant par $C$, coupe la demi-droite $[AB)$ en $F$.
  • La perpendiculaire à $[AB)$ passant par $F$, coupe $[DC)$ en $G$.
    1. Montrer que $EC=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
    2. En déduire que $AF= \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi$.
Figure 4.
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Liens à voir : Wikipedia ; debart.pagesperso-orange.fr ; Le Monde et Bulletin de l’AMQ (Association Mathématique du Québec). Youtube 1 ; Youtube 2.
Réf. [1] : « L’art des bâtisseurs Romans », de Henrie BILHEUST, Association des amis de l’Abbaye de BOSCODON 05200 CROTS France
Réf [2] : « L’Enfant et le nombre d’or » Livret n°6, de Mireille HIBON, Association des amis de l’Abbaye de BOSCODON 05200 CROTS France.
Réf [3] : « Histoire de l’Art, de la préhistoire au XXI$^e$ siècle », de Sonia CHAINE, Castor Doc, Ed. Flammarion, Paris 2017.

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