Distance d’un point à une droite dans l’espace
Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
1. Calcul de la distance d’un point à une droite dans l’espace
Définition 1.
Soit $P$ un plan dans l’espace et $A$ un point quelconque de l’espace. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $d$. Alors la distance $AH$ s’appelle la distance du point $A$ à une droite $d$ et désigne la plus courte distance séparant le point $A$ d’un point quelconque du plan $d$.

Théorème 1.
Soit $d$ une droite dans l’espace de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et $B$ un point quelconque de la droite $d$.
Soit $A$ un point quelconque de l’espace et $H$ son projeté orthogonal sur la droite $d$. Alors la distance du point $A$ la droite $d$ est donnée par : $$\boxed{~~\text{dist}(A;d) = AH=\left\lVert\overrightarrow{AB}-\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||}\overrightarrow{u}\right\rVert~~}$$
Théorème 2.
Soit $P$ le plan d’équation $ax+by+cz+d=0$. Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point quelconque de l’espace et $H$ son projeté orthogonal sur le plan $P$. Alors la distance du point $A$ au plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{||\sqrt{a^2+b^2+c^2}||}~~}$$
Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit $P$ le plan d’équation $2x+3y-4z+5=0$. Soit $A(1;2;3)$.
Calculez la distance de $A$ au plan $P$.
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