Généralités sur les suites numériques


Liens connexes

  1. Définition d’une suite numérique
  2. Suites explicites
  3. Suites récurrentes
  4. Représentation graphique d’une suite numérique
  5. Exemples

1. Un exemple pour commencer

Exercice résolu n°1. En supposant que les nombres de la liste ordonnée suivante obéissent à une formule les reliant ou reliant leurs rangs, déterminer les deux nombres manquants en fin de la liste.
$L_1$ : $0$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $\ldots$; $\ldots$

Tout d’abord, dans chaque liste de nombres, interviennent deux notions :
$\quad i)$ Le rang de chaque terme ;
$\quad ii)$ La valeur du terme de la liste dans un rang donné.
Pour trouver le lien entre les termes de chaque liste, on cherche une relation entre chaque terme et son rang, ou entre chaque terme avec le terme de rang précédent, ou avec les termes des deux rangs précédents, et ainsi de suite.
Les rangs sont des nombres entiers. On peut commencer à partir de 0, ou à partir de 1, ou à partir de n’importe quel nombre entier $p$.
Appelons $u_n$ le terme de rang $n$

1°) $L_1$ : $0$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $\ldots$; $\ldots$
On reconnaît la table de multiplication de $3$.
$u_0=3\times 0 = \color{brown}{0}$. Le terme de rang $0$. Ici, c’est le premier terme.
$u_1=3\times 1 = \color{brown}{3}$. Le terme de rang $1$. Ici, c’est le deuxième terme.
$u_2=3\times 2 = \color{brown}{6}$. Le terme de rang $2$. Ici, c’est le troisième terme.
$u_3=3\times 3 = \color{brown}{9}$. Le terme de rang $3$. Ici, c’est le quatrième terme.
Ensuite, les termes suivants s’obtiennent avec la même formule :
$u_4=3\times 4 = \color{brown}{12}$. Le terme de rang $4$.
$u_5=3\times 5 = \color{brown}{15}$. Le terme de rang $5$.

Conclusion. On obtient la liste avec les termes manquants :
$$L_1 : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; \color{brown}{12} ; \color{brown}{15}$$

1°bis) $L_1$ : $0$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $\ldots$; $\ldots$
On aurait pu également obtenir les termes de la liste $L_1$, en commençant par $0$ et ajoutant le nombre $3$ à chaque terme pour obtenir le terme suivant.

$u_0=\color{brown}{0}$. Le terme de rang $0$. Ici, c’est le premier terme.
$u_1=u_0+3=0+3= \color{brown}{3}$. Le terme de rang $1$, le deuxième terme.
$u_2=u_1+3=3+3 =\color{brown}{6}$. Le terme de rang $2$, le troisième terme.
$u_3=u_2+3=6+3= \color{brown}{9}$. Le terme de rang $3$, le quatrième terme.
Ensuite, les termes suivants s’obtiennent avec la même formule :
$u_4=u_3+3=9+3=\color{brown}{12}$. Le terme de rang $4$.
$u_5=u_4+3=12+3=\color{brown}{15}$. Le terme de rang $5$.

Conclusion. On obtient la liste avec les termes manquants :
$$L_1 : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; \color{brown}{12} ; \color{brown}{15}$$


2. Définition d’une suite numérique

Définitions 1.
Une suite numérique est une liste de nombres réels « numérotés » avec les nombres entiers naturels. La numérotation peut commencer par le premier terme de la suite avec un rang $0$ ou $1$ ou $2$.

$n$ s’appelle le rang du terme $u_n$.
La suite globale se note : $(u_n)$ [avec des parenthèses].
Le nombre $u_n$ [sans les parenthèses] s’appelle le terme général de la suite. On l’appelle aussi le terme de rang $n$ ou encore le terme d’indice $n$ de la suite.


Définitions 2.
Une suite numérique est une fonction $u$ de $\N$ dans $\R$ qui, à tout nombre entier $n\in\N$ associe un nombre réel $u(n)$ noté $u_n$.
$$\begin{array}{rll}
u : &\N \longrightarrow \R \\
&n \longmapsto u(n)=u_n \\
\end{array}$$
$n$ s’appelle le rang du terme $u_n$.
Une suite peut commencer au rang $0$ ou $1$ ou $2$. Le premier terme s’appelle aussi le terme initial de la suite.
La suite globale se note : $(u_n)$ [avec des parenthèses].
Le nombre $u_n$ [sans les parenthèses] s’appelle le terme général de la suite. On l’appelle aussi le terme de rang $n$ ou encore le terme d’indice $n$ de la suite.

3. Modes de génération d’une suite numérique

  1. Forme explicite : Chaque terme $u_n$ de la suite est défini par une expression explicite $u(n)$ en fonction de $n$.
  2. Forme récurrente : Chaque terme $u_n$ de la suite est défini par la donnée du premier terme et une formule de récurrence, c’est-à-dire une expression en fonction du terme précédent.
    On peut aussi définir une suite par la donnée des deux premiers termes et une expression en fonction des deux termes précédents, etc.
  3. Forme aléatoire : Chaque terme $u_n$ est défini comme un nombre aléatoire quelconque ou choisi dans un intervalle donné. On utilise en général des fonctions sur un tableur ou une calculatrice telles que :

    $\bullet$ La fonction =ALEA() sur Tableur donne un nombre aléatoire compris entre $0$ et $1$. On appuie sur F9 pour recommencer.

    $\bullet$ La fonction =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) sur Tableur donne un nombre aléatoire entier compris entre $1$ et $6$. Cette fonction peut être utilisée dans la simulation d’un ou de plusieurs lancers de dés par exemple. On appuie sur F9 pour recommencer.

    $\bullet$ Sur calculatrice Casio Graph : la commande Ran# génère un nombre décimal aléatoire dans l’intervalle $[0;1[$.
    $\bullet$ Sur calculatrice TI : La commande NbrAléat permet de générer un nombre aléatoire dans l’intervalle $[0;1[$.
    $\bullet$ La commande nbrAléaEnt(1,6) permet de générer un nombre aléatoire entier compris entre $1$ et $6$ et peut donc être utilisée pour simuler le lancer d’un dé.
    .
  4. Forme géométrique : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
    Par exemple : Pour tout polygone ayant $n$ côtés, on peut associer le nombre $d_n$ de diagonales [segments joignant deux sommets non consécutifs]. Faites vos comptes pour $n=3$ ; $n=4$ ; $n=5$ ; $6$ ; etc… Essayez de trouver un formule explicite pour calculer $d_n$ en fonction de $n$.
    .
  5. Avec un tableur : Chaque terme $u_n$ est défini par une formule utilisant le rang $n$ ou le terme précédent ou les deux, etc.
    .
  6. Avec un algorithme : Chaque terme $u_n$ est défini par un algorithme en fonction de $n$.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°2. En supposant que les nombres de chacune des listes ordonnées suivantes obéissent à une formule les reliant ou reliant leurs rangs, déterminer les deux nombres manquants en fin de chaque liste.
2°) $L_2$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $\ldots$; $\ldots$
3°) $L_3$ : $10$ ; $13$ ; $16$ ; $19$ ; $\ldots$; $\ldots$
4°) $L_4$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $10$ ; $\ldots$; $\ldots$
5°) $L_5$ : $0$; $1$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ ; $8$; $\ldots$; $\ldots$

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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner