Fonction numérique de la variable réelle. Ensemble de définition
Liens connexes
- Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
- Repérage d’un point dans le plan.
- Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
- Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
- Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
- Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
- Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
- Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
1. Notion de fonction numérique de la variable réelle.
Définitions 1.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion finie d’intervalles de $\R$.
Définir une fonction $f$ de $D$ dans $\R$, c’est associer à tout nombre réel $x\in D$, au plus (*) un nombre noté $f(x)\in\R$ (lire « $f$ de $x$ ») appelé image de $x$ par la fonction $f$. On note :
$$\color{brown}{\begin{array}{rcl}
f : &D& \longrightarrow \R\\
&x&\longmapsto f(x) \\
\end{array}\quad}$$
(*) « au plus un » = « au maximum un » = « un ou rien ».
Définitions 2.
Si $y$ est l’image d’un nombre $x$ par la fonction $f$, on note $y=f(x)$. Le nombre $x$ s’appelle un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
Définition 3.
Si tous les nombres réels dans $D$, ont une image par $f$, on dit que $D$ est le domaine de définition ou l’ensemble de définition de la fonction $f$ et on écrit : $D_f=D$. On a alors, pour tout $x\in\R$ :
$$x\in D_f \text{ (ssi) } f (x)\text{ existe et est unique}$$
Conditions de définition d’une fonction numérique de la variable réelle >>
Remarque
On peut définir une fonction de plusieurs manières :
$\bullet$ Avec une expression du « langage courant » ou « langage usuel » ;
$\bullet$ Avec une « expression algébrique » ou une « formule »,
$\bullet$ Avec un programme informatique ;
$\bullet$ Avec un tableau de valeurs « point par point » ; ou un tableur ;
$\bullet$ Avec une courbe représentative.
Il est plus ou moins facile de passer parfois de l’une à l’autre.
2. Exemples
- En langage courant :
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ qui, à tout nombre réel, associe « la somme de son carré et de son cube ». - Par une expression algébrique. On considère la fonction $f$ définie pour tout $x\in\R$ par : $f(x)=x^2+x^3$.
- Avec un tableau de valeurs (insuffisant pour définir les images de tous les nombres !)
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ données pour quelques valeurs dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|r|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \\
x &-3&-2&-1&0&1,5&2&3\hline \\
f(x)&-18&-4&0&0&5,625&12&36\hline \\
\end{array}$$
Par un programme informatique :
Pgm1.
Choisir un nombre
Calculer son carré
Calculer son cube
Calculer la somme de son carré et son cube
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1.2) Représentation graphique
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2+5x-7$.
Exercice résolu n°2. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$.
Exercice résolu n°3. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\sqrt{2x+1}$.
Exercice résolu n°4. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{2x+1}}$.
3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner
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