Fonction numérique de la variable réelle. Ensemble de définition


Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  9. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

1. Notion de fonction numérique de la variable réelle.

Définitions 1.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion finie d’intervalles de $\R$.
Définir une fonction $f$ de $D$ dans $\R$, c’est associer à tout nombre réel $x\in D$, au plus (*) un nombre noté $f(x)\in\R$ (lire « $f$ de $x$ ») appelé image de $x$ par la fonction $f$. On note :
$$\color{brown}{\begin{array}{rcl}
f : &D& \longrightarrow \R\\
&x&\longmapsto f(x) \\
\end{array}\quad}$$
(*) « au plus un » = « au maximum un » = « un ou rien ».

Définitions 2.
Si $y$ est l’image d’un nombre $x$ par la fonction $f$, on note $y=f(x)$. Le nombre $x$ s’appelle un antécédent de $y$ par la fonction $f$.

Définition 3.
Si tous les nombres réels dans $D$, ont une image par $f$, on dit que $D$ est le domaine de définition ou l’ensemble de définition de la fonction $f$ et on écrit : $D_f=D$. On a alors, pour tout $x\in\R$ :
$$x\in D_f \text{ (ssi) } f (x)\text{ existe et est unique}$$

Conditions de définition d’une fonction numérique de la variable réelle >>

Remarque

On peut définir une fonction de plusieurs manières :

$\bullet$ Avec une expression  du « langage courant » ou « langage usuel » ;
$\bullet$ Avec une « expression algébrique » ou une « formule »,
$\bullet$ Avec un programme informatique ;
$\bullet$ Avec un tableau de valeurs « point par point » ; ou un tableur ;
$\bullet$ Avec une courbe représentative.

Il est plus ou moins facile de passer parfois de l’une à l’autre.

2. Exemples

  1. En langage courant :
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ qui, à tout nombre réel, associe « la somme de son carré et de son cube ».
  2. Par une expression algébrique. On considère la fonction $f$ définie pour tout $x\in\R$ par : $f(x)=x^2+x^3$.
  3. Avec un tableau de valeurs (insuffisant pour définir les images de tous les nombres !)
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ données pour quelques valeurs dans le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|r|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \\
    x &-3&-2&-1&0&1,5&2&3\hline \\
    f(x)&-18&-4&0&0&5,625&12&36\hline \\
    \end{array}$$

    Par un programme informatique :

Pgm1.
Choisir un nombre
Calculer son carré
Calculer son cube
Calculer la somme de son carré et son cube
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1.2) Représentation graphique

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2+5x-7$.

Cette fonction est définie pour tout nombre réel et n’admet aucune valeur interdite. Donc, $f$ ne pose aucun problème d’existence. Donc son domaine de définition est :
$$\color{brown}{\boxed{D_f=\R\quad}}$$

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Exercice résolu n°2. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$.

$\begin{array}{rcl}
f(x)\; \text{existe} &\text{(ssi)}&\text{le dénominateur ne s’annule pas}\\
&\text{(ssi)}&x-2\not=0\\
&\text{(ssi)}&x\not=2\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $f$ est : $$\color{brown}{\boxed{D_f=\R\setminus\{2\}\quad}}$$
ou encore $$\color{brown}{\boxed{D_f=\left]-\infty;2\right[\cup\left]2;+\infty\right[\quad}}$$

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Exercice résolu n°3. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\sqrt{2x+1}$.

$\begin{array}{rcl}
f(x)\; \text{existe} &\text{(ssi)}&\text{l’expression sous la racine carrée est positive ou nulle}\\
&\text{(ssi)}&2x+1\geqslant 0\\
&\text{(ssi)}&2x\geqslant -1\\
&\text{(ssi)}&x\geqslant\dfrac{-1}{2}\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $f$ est $$\color{brown}{\boxed{D_f=\left[\dfrac{-1}{2};+\infty\right[\quad}}$$

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Exercice résolu n°4. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{2x+1}}$.

$\begin{array}{rcl}
f(x)\; \text{existe} &\text{(ssi)}&\text{l’expression sous la racine carrée est positive ou nulle}\\
& &\text{et le dénominateur doit être différent de 0.}\\
&\text{(ssi)}&2x+1\geqslant 0\; \text{et}\;2x+1\not=0\\
&\text{(ssi)}&2x+1 > 0\\
&\text{(ssi)}&2x > -1\\
&\text{(ssi)}&x > \dfrac{-1}{2}\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $f$ est :
$$\color{brown}{\boxed{D_f=\left]\dfrac{-1}{2};+\infty\right[\quad}}$$

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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner