Fonction Logarithme népérien. Limites et limites de croissance comparée. Taux d’accroissement


1. Limites graphiques

Ce sont les limites de la fonction aux bords de son domaine de définition et qu’on peut « lire directement » sur le graphique.

Théorème 1.
Limites graphiques. (à lire sur la courbe) : $$\begin{array}{l}
(L_1):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty\;\;}\\
(L_2):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty\;\;}\\
\end{array}$$

1°) Limite en $0^{+}$.
Soit $A$ un nombre réel négatif quelconque.
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc pour tout réel strictement positif $x$, on a :
$\ln x< A \Leftrightarrow \e^{\ln x}< \e^{A}\Leftrightarrow 0 < x <\e^{A}$,
d’après les propriétés de réciprocité.
Par suite, pour tout réel strictement positif $x$ :
si $0 < x <\e^{A}$, alors $\ln x<A$.
Donc la fonction ln est inférieure à tout nombre négatif choisi au départ, à partir d’un certain rang. Donc : $$\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty$$

2°) Limite en $+\infty$
Soit $A$ un nombre réel positif quelconque.
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc pour tout réel strictement positif $x$, on a :
$\ln x> A \Leftrightarrow \e^{\ln x}> \e^{A}\Leftrightarrow x >\e^{A}$,
d’après les propriétés de réciprocité.
Par suite, pour tout réel strictement positif $x$ :
Si $x>\e^A$, Alors $\ln x>A$.
Donc la fonction $\ln$ est supérieure à tout nombre positif choisi au départ, à partir d’un certain rang. Donc : $$\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty$$


2. Limites de croissance comparée

Ce sont les limites qui permettent de « comparer » la fonction logarithme népérien aux fonctions puissances, en particulier, à la fonction $x\mapsto y=x$ ; et lever certaines indéterminations [ce qui est toujours le cas dans les exercices].

Théorème 2.
Limites de croissance comparée. Les fonctions puissances croissent plus vite que la fonction $\ln$ aussi bien au voisinage de $0$ qu’en $+\infty$. La fonction $\ln$ est une « fonction à croissance lente ».
$$\begin{array}{l}
(L_{3a}):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}x\ln x=0\;\;}\\
(L_{3b}):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}x^n\ln x=0~\text{pour tout}~n\geqslant1\;\;}\\
(L_{4a}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\;\;}\\
(L_{4b}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0~\text{pour tout}~n\geqslant1\;\;}\\
\end{array}$$

Fig. 1. Courbes de comparaison de $y=\ln x$ et $y=x$

2°a) Limite de croissance comparée en $0^{0}$.
Nous allons utiliser les propriétés de réciprocité et les limites de la fonction $\exp$.
Soit $x>0$. On effectue un changement de variable en posant $X=\ln x$. Alors :
$X=\ln x \Leftrightarrow \e^X=\e^{\ln x} \Leftrightarrow \e^X=x$.
Donc : $x\ln x=\e^X\times X=X\e^X$
Et par suite : $$\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}X=\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty$$
D’autre part, on a : $\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}X=-\infty$ et $\dlim_{X \to -\infty}X\e^X=0$ ; et par composition des limites, on obtient : $\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}x\ln x=0$. CQFD.

b) Limite de croissance comparée en $+\infty$.
Encore une fois, on fait appel aux propriétés de réciprocité et les limites de la fonction exponentielle. Soit $x>0$. On pose $X=\ln x$. Ce qui équivaut à $\e^X=x$. Alors : $$\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{X}{\e^X}=\dfrac{1}{\dfrac{\e^X}{X}}$$
D’autre part : $$\left\{\begin{array}{rl}
& \dlim_{x \to +\infty}X=\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty\\
\text{et} &\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\e^X}{X}=+\infty\\ \end{array}\right.$$
Donc, par composition et inverse des limites, on obtient : $\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$. CQFD.


3. Lien entre limites et nombre dérivé. Taux d’accroissement

Nous avons vu en classe de 1ère, deux manières qui utilisent la limite du taux d’accroissement d’une fonction $f$ pour calculer son nombre dérivé en un point d’abscisse $a$.

Propriété. Taux d’accroissement et nombre dérivé.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
Nous disposons de deux formules du taux d’accroissement de la fonction $f$ qui permettent de calculer le nombre dérivé de $f$ au point d’abscisse $a$.
$$\begin{array}{rl}
&\boxed{\;\;\dlim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\;\;}\\
\text{et} &\boxed{\;\;\dlim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\;\;}\\
\end{array}$$

Théorème 3.
Limites et taux d’accroissement : $$\begin{array}{l}
(L_{5a}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to 0}\dfrac{\ln x}{x-1}=1\;\;}\\
(L_{5b}):\boxed{\;\;\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}=1\;\;}\\
\end{array}$$

Dans le cas présent, le calcul de la limite suivante « ressemble » revient à calculer la limite du taux d’accroissement de la fonction exponentielle en $0$. Ce qui reviendrait à calculer la valeur de la fonction dérivée en $0$. On trouve d’autres exemples avec : $\dlim_{x\to0}\dfrac{\e^x -1}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\cos x -1}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$,$\ldots$
La méthode est exactement la même.

3°a) Taux d’accroissement en $1$.
On appelle $f$ la fonction logarithme népérien, alors pour tout $x>0$ : $f (x)=\ln x$.
On sait que $f$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{1}{x}$.
En écrivant $f ‘(1)$ en utilisant les deux formes de taux d’accroissements, on obtient directement les deux limites demandées :
$$\begin{array}{rcl}
\dlim_{x \to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}&=&\dlim_{x \to 1}\dfrac{\ln x-\ln1}{x-1}\\
&=&\dlim_{x \to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\
&=& f’(1) \\
\dlim_{x \to 0}\dfrac{\ln x}{x-1}&=& 1\quad\text{d’après }L_{5a}\\
\end{array}$$

3°b) Taux d’accroissement en $0$.
On obtient directement le résultat en écrivant le taux d’accroissement de la fonction $f$ en posant $h=x-1$, où $h$ tend vers $0$. $$\begin{array}{rcl}
\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}&=&\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)-\ln1}{h}\\
&=&\dlim_{h \to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\
&=& f’(1)\\
\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}&=& 1\\
\end{array}$$

3°b’) Utilisation d’une autre fonction.
On peut aussi utiliser la fonction $g$ définie par : $g(x) = ln(1+x)$. On obtient : $$\begin{array}{rcl}
\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}&=&\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)-\ln1}{h}\\
&=&\dlim_{h \to 0}\dfrac{g(h)-g(0)}{h}\\
&=& g’(0)=\dfrac{1}{1+0} \\
\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}&=& 1\quad\text{d’après }L_{5a}\\
\end{array}$$ CQFD.


4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie par : $f (x)=x−\ln x$. Calculer $\dlim_{x\to+\infty}f(x)$.

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