Fonction Logarithme népérien. Limites et limites de croissance comparée. Taux d’accroissement
1. Limites graphiques
Ce sont les limites de la fonction aux bords de son domaine de définition et qu’on peut « lire directement » sur le graphique.
Théorème 1.
Limites graphiques. (à lire sur la courbe) : $$\begin{array}{l}
(L_1):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty\;\;}\\
(L_2):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty\;\;}\\
\end{array}$$
2. Limites de croissance comparée
Ce sont les limites qui permettent de « comparer » la fonction logarithme népérien aux fonctions puissances, en particulier, à la fonction $x\mapsto y=x$ ; et lever certaines indéterminations [ce qui est toujours le cas dans les exercices].
Théorème 2.
Limites de croissance comparée. Les fonctions puissances croissent plus vite que la fonction $\ln$ aussi bien au voisinage de $0$ qu’en $+\infty$. La fonction $\ln$ est une « fonction à croissance lente ».
$$\begin{array}{l}
(L_{3a}):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}x\ln x=0\;\;}\\
(L_{3b}):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}x^n\ln x=0~\text{pour tout}~n\geqslant1\;\;}\\
(L_{4a}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\;\;}\\
(L_{4b}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0~\text{pour tout}~n\geqslant1\;\;}\\
\end{array}$$

3. Lien entre limites et nombre dérivé. Taux d’accroissement
Nous avons vu en classe de 1ère, deux manières qui utilisent la limite du taux d’accroissement d’une fonction $f$ pour calculer son nombre dérivé en un point d’abscisse $a$.
Propriété. Taux d’accroissement et nombre dérivé.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
Nous disposons de deux formules du taux d’accroissement de la fonction $f$ qui permettent de calculer le nombre dérivé de $f$ au point d’abscisse $a$.
$$\begin{array}{rl}
&\boxed{\;\;\dlim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\;\;}\\
\text{et} &\boxed{\;\;\dlim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\;\;}\\
\end{array}$$
Théorème 3.
Limites et taux d’accroissement : $$\begin{array}{l}
(L_{5a}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1\;\;}\\
(L_{5b}):\boxed{\;\;\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}=1\;\;}\\
\end{array}$$
Dans le cas présent, le calcul de la limite suivante « ressemble » revient à calculer la limite du taux d’accroissement de la fonction exponentielle en $0$. Ce qui reviendrait à calculer la valeur de la fonction dérivée en $0$. On trouve d’autres exemples avec : $\dlim_{x\to0}\dfrac{\e^x -1}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\cos x -1}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$,$\ldots$
La méthode est exactement la même.
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie par : $f (x)=x−\ln x$. Calculer $\dlim_{x\to+\infty}f(x)$.
Exercice résolu n°2.
FicheBac n°8. Cliquez ici.
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