Expression des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de celles de $A$ et de $B$

Pour calculer la longueur d’un segment joignant deux points $A$ et $B$ dans le plan, nous allons construire un rectangle dont $[AB]$ est la diagonale et utiliser le théorème de Pythagore.

2. Coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{AB}$

Théorème et définition.
Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère quelconque du plan.
On donne les points $A(x_A;y_A$ et $B(x_B;y_B)$. Alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction de celles de $A$ et de $B$ sont données par : $$\overrightarrow{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$$

$Coordonnées de \overrightarrow{AB}$

On sait que les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ ont les mêmes coordonnées que les points $A$ et $B$ respectivement.
Donc : $\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA}=x_A\vec{\imath}+y_A\vec{\jmath}\\
\overrightarrow{OB}=x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath}\\
\end{array}\right.$
Or d’après la relation de Chasles, on a : $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$
Donc : $$\overrightarrow{AB}=x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath}-\left(x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath}\right)$$
Ce qui donne après simplification : $$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec{\imath}+(y_B-y_A)\vec{\jmath}$$
Par conséquent, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction de celles de $A$ et de $B$$ sont données par : $$\boxed{\;\overrightarrow{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\;}$$



4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ une base orthonormée des vecteurs du plan.
On donne les vecteurs suivants avec leurs coordonnées : $\overrightarrow{u}\dbinom{-3}{4}$ ;

Exercice résolu n°2.
.