Événements indépendants. Succession de deux épreuves indépendantes
1. Événements indépendants
Soit $A$ et $B$ deux événements de l’univers $\Omega$.
Intuitivement, dire que l’événement $A$ est indépendant de l’événement $B$ (ou que $B$ est indépendant de $A$, ou encore que les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants) signifie que :
$\bullet$ $P(A)$ ne change pas, que $B$ soit réalisé ou non. C’est-à-dire que $P(A)= P_B(A)$, donc $$P(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ Ce qui s’écrit encore : $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
Donc $P(A)$ ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de $B$.
$\bullet$ $P(B)$ ne change pas que $A$ soit réalisé ou non. C’est-à-dire que : $P(B)= P_A(B)$, donc $$P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$$ Ce qui s’écrit encore : $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
Donc $P(B)$ ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de $A$.
Définition 1.
Soit $\Omega$ un ensemble fini et $A$ et $B$ événements de $\Omega$. On dit que les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si : $$\boxed{~~P(A\cap B)=P(A)\times P(B)~~}$$
Exemples
Exercice résolu n°1.
On lance un dé parfaitement équilibré. On note la face obtenue. On appelle $A$ l’événement « le résultat est pair », $B$ l’événement « le résultat est supérieur ou égal à 4 » et $C$ l’événement « le résultat est inférieur à 3 ». Ces trois événements sont-ils indépendants deux à deux ?
2. Propriétés des événements indépendants
Théorème 1.
Soit $\Omega$ un ensemble fini et $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$. Alors les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
1°) $A$ et $B$ sont indépendants.
2°) $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.
3°) $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
4°) $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
Exercice résolu n°2.
Vues : 136