Événements indépendants. Succession de deux épreuves indépendantes

1. Événements indépendants

Soit $A$ et $B$ deux événements de l’univers $\Omega$.

Intuitivement, dire que l’événement $A$ est indépendant de l’événement $B$ (ou que $B$ est indépendant de $A$, ou encore que les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants) signifie que :

$\bullet$ $P(A)$ ne change pas, que $B$ soit réalisé ou non. C’est-à-dire que $P(A)= P_B(A)$, donc $$P(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ Ce qui s’écrit encore : $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
Donc $P(A)$ ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de $B$.

$\bullet$ $P(B)$ ne change pas que $A$ soit réalisé ou non. C’est-à-dire que : $P(B)= P_A(B)$, donc $$P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$$ Ce qui s’écrit encore : $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
Donc $P(B)$ ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de $A$.

Définition 1.
Soit $\Omega$ un ensemble fini et $A$ et $B$ événements de $\Omega$. On dit que les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si : $$\boxed{~~P(A\cap B)=P(A)\times P(B)~~}$$

Exemples

Exercice résolu n°1.
On lance un dé parfaitement équilibré. On note la face obtenue. On appelle $A$ l’événement « le résultat est pair », $B$ l’événement « le résultat est supérieur ou égal à 4 » et $C$ l’événement « le résultat est inférieur à 3 ». Ces trois événements sont-ils indépendants deux à deux ?

On peut traduire ces événements en langage symbolique des ensembles :
$A=\{2;4;6\}$, $B=\{4;5;6 \}$ et $C=\{1;2\}$.
Le dé est supposé parfaitement équilibré, donc on est en situation d’équiprobabilité. Donc : $$P(A)=\dfrac{\textit{Nombre d’issues favorables}}{\textit{Nombre d’issues possibles}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$$
D’une manière analogue, on démontre que : $$P(B)=\dfrac{1}{2}~~\text{et}~~P(C)\dfrac{1}{3}$$

$\bullet$ Indépendance de $A$ et $B$ ?
On détermine d’abord l’événement $A\cap B=\{4;6\}$ et $P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}= \dfrac{1}{3}$ ; alors que : $P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$. On a donc : $P(A\cap B)\not=P(A)\times P(B)$.
Par conséquent, les deux événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

$\bullet$ Indépendance de $A$ et $C$ ?
On détermine d’abord l’événement $A\cap C=\{2\}$ et $P(A\cap C)=\dfrac{1}{6}$ ; alors que : $P(A)\times P(C)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$. On a donc : $P(A\cap C)=P(A)\times P(C)$.
Par conséquent, les deux événements $A$ et $C$ sont des événements indépendants.

$\bullet$ Indépendance de $B$ et $C$ ?
On détermine d’abord l’événement $B\cap C=\emptyset$ et $P(B\cap C)=0$ ; alors que : $P(B)\times P(C)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$. On a donc : $P(B\cap C)\not=P(B)\times P(C)$. Par conséquent, les deux événements $B$ et $C$ ne sont pas indépendants. CQFD.$\blacktriangle$

2. Propriétés des événements indépendants

Théorème 1.
Soit $\Omega$ un ensemble fini et $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$. Alors les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
1°) $A$ et $B$ sont indépendants.
2°) $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.
3°) $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
4°) $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.

Soit $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$.
Nous allons démontrer que (1°) <=> (2°)
1°) Supposons que $A$ et $B$ sont indépendants.
Montrons que $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.

On sait que $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $\Omega$. Donc : $B=(B\cap A)\cup(B\cap\overline{A})$.
Les deux événements $(B\cap A)$ et $(B\cap\overline{A})$ étant incompatibles, nous avons : $P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\overline{A})$. Ce qui donne : $$P(B\cap\overline{A})=P(B)-P(B\cap A)$$
Or, les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, donc : $P(B\cap A)=P(B)\times P(A)$. Donc : $$P(B\cap\overline{A})=P(B)-P(B)\times P(A)$$
En mettant $P(B)$ en facteur, on obtient : $$P(B\cap\overline{A})=P(B)(1-P(A))$$ Ce qui donne : $$P(B\cap\overline{A})=P(B)\times P(\overline{A})$$
Conclusion. Les deux événements $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants. CQFD.$\blacktriangle$

2°) La réciproque se démontre de la même manière. CQFD.$\blacktriangle$

Exercice résolu n°2.

CQFD.$\blacktriangle$

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