Étude de cas particuliers de fonctions : $\e^{-kx}$ et $\e^{-kx^2}$

Dans plusieurs applications, nous rencontrons des fonctions composées de la forme $\color{brown}{\e^{-kx}}$ ou $\color{brown}{\e^{-kx^2}}$, $k > 0$, notamment en probabilités et statistiques. D’où une étude particulière de ces types de fonctions.

1°) La fonction définie par $u(x)=–kx$, $k > 0$, est dérivable sur $\R$ et $u’ (x) = – k$.

Donc, la fonction composée $f: x\mapsto \color{brown}{\e^{-kx}}$ est dérivable sur $\R$ et a pour dérivée :

$$\color{brown}{\left(\e^{-kx}\right)’= -k\e^{-kx}}~\text{pour tout}~x\in\R$$

$k > 0$, donc $– k < 0$. Et comme $\e^{-kx^2}>0$, cette dérivée est négative pour tout $x\in\R$. Ce qui montre que cette fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$. De plus $f(0) = 1$. D’où le tableau de variations :

TV f(x)

Fig. 1. Courbes des fonctions définies sur $\R$ par : $\e^{-2x}$ et $\e^{-x^2}$

2°) La fonction définie par : $u(x)=-kx^2$, $k > 0$, est dérivable sur $\R$ et

$u’ (x) = – 2k x$. Donc, la fonction composée $g : x \mapsto \e^{-kx^2}$ est dérivable sur $\R$ et a pour dérivée :

$$\color{brown}{\left(\e^{-kx^2}\right)’= -2kx\e^{-kx^2}}~\text{pour tout}~x\in\R$$

$k > 0$, donc $– 2k < 0$. Et comme $\e^{-kx^2}> 0$, le signe de la dérivée est l’opposé du signe de $x$, pour tout $x\in\R$. Ce qui montre que cette fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;0]$ et strictement décroissante sur $[0;+\infty[$. De plus $g(0) = 1$.

D’où le tableau de variations :

TV g(x)

Remarque : La fonction $g$ est paire, donc sa courbe représentative $C_g$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemples

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $f(x)=\e^{-3x}$ et $g(x)=\e^{-\frac{1}{2}x}$.

Les deux fonctions $f$ et $g$ sont définies et dérivables sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ on a :

$$f’(x) = u’(x)\times\e^{u(x)}=-3\times\e^{-3x}=-3\e^{-3x}$$

$$\text{et}~g’(x) = u’(x)\times\e^{u(x)}=-\dfrac{1}{2}\times2x\times\e^{-\frac{x^2}{2}}=-x\e^{-\frac{x^2}{2}}$$

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