Équation de la droite tangente à une courbe au point d’abscisse $a$

1.3. Équation de la droite tangente

Théorème 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a\in I$. Si $f$ est dérivable en $a$ et a pour nombre dérivé $f'(a)$, alors la droite $T_a$ passant par le point $A(a,f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$, est tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$. L’équation réduite de $T_a$ est donnée par : $$\boxed{\;\;y = f'(a)(x-a) + f(a)\;\;}$$

Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. Le point $M$ appartient à la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ si, et seulement si, le coefficient directeur de la droite $(AM)$ est $m =f'(a)$.
Cette méthode infaillible pour retrouver l’équation de $T_a$. On a les équivalences suivantes : $$\begin{array}{l}
M(x;y)\in T_a \\
\Leftrightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x} =f’(a)\\
\Leftrightarrow \dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A} =f’(a) \\
\Leftrightarrow \dfrac{y-f(a)}{x-a}=f’(a)\\
\quad \text{On écrit l’égalité des produits en croix}\\
\Leftrightarrow y-f(a)=f’(a)(x-a)\\
\quad \text{puis on transpose}~f(a)~\text{à droite}\\
\Leftrightarrow y-f(a)=f'(a)(x-a)\\
\Leftrightarrow \color{brown}{\boxed{\;y=f'(a)(x-a)+f(a)\;}}\\
\end{array}$$


Exemple 1.

Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction carrée définie sur $\R$ par : $f(x)=x^2$. Déterminer l ‘équation de la droite $T_1$, tangente à la courbe au point d’abscisse $1$.

Nous avons vu que la fonction carrée, $f :x\mapsto x^2$, est dérivable en $1$ et $f'(1)=2$.
Soit $A(1,f(1))\in C_f$ .
1ère étape : On commence par déterminer : $f(1)$ et $f'(1)$. Or $$\left\{\begin{array}{l} \phantom{\text{et}}~f(1)=1\\ \text{et}~f'(1)=2\\ \end{array}\right.$$
2ème étape : On écrit la formule de l’équation de la tangente en $a=1$.
L’équation de la droite tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est donnée par : $$y=f'(1)(x-1)+f(1)$$
3ème étape : On remplace par les valeurs et on réduit : $$\begin{array}{l}y=2(x-1)+1\\ y=2x-2+1\\
y=2x-1\\ \end{array}$$
4ème étape : Conclusion. L’équation de la droite $T_1$, tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ est : $$\color{brown}{\boxed{\;T_1:\quad y=2x-1.\;}}$$ CQFD.$\blacktriangle$

Exemple 2.

Exercice résolu n°2.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=2x^2-3x-5$. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point $A$ d’abscisse $a=2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-3x-5$. $f$ est une fonction polynôme, donc $f$ est dérivable sur $\R$.
1ère étape :
En $a=2$, on calcule $f(2)$.
On calcule $f'(x)$, puis $f'(2)$.
Or pour tout $x\in\R$ : $f'(x) = 4x-3$. Donc :
$$\left\{\begin{array}{l} \phantom{\text{et}}~f(2)=-3\\ \text{et}~f'(2)=5\\ \end{array}\right.$$
2ème étape : On écrit la formule de l’équation de la tangente en $a=2$.
L’équation de la droite tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a=2$ est donnée par : $$y=f'(2)(x-2)+f(2)$$
3ème étape : On remplace par les valeurs et on réduit : $$\begin{array}{l}y=5(x-2)+(-3)\\ y=5x-10-3\\
y=5x-13\\ \end{array}$$
4ème étape : Conclusion. L’équation de la droite $T_2$, tangente à la courbe au point d’abscisse $a=2$ est : $$\color{brown}{\boxed{\;T_2:\quad y=5x-13.\;}}$$ CQFD.$\blacktriangle$

Exemple 3.

Exercice résolu n°3.