Droites tangentes à un cercle

1. Distance d’un point à une droite

Définition 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
Le point $H$ de la droite $d$, le plus proche de $A$ est le pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$.
On appelle distance du point $A$ à la droite $d$ la longueur $AH$ égale à la plus courte distance entre $A$ et les points de $d$. On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\;\text{dist}(A;d)=AH\;}}$$ En particulier : $$\color{brown}{\boxed{\;\text{dist}(A;d)=0~\text{si, et seulement si}~A\in d\;}}$$

2. Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition 2.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
Le point $H$ de $d$ le plus proche de $A$, ainsi construit, s’appelle aussi le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
Autrement dit : pour tout point $M$ de $d$, différent de $H$ : $$AH< AM$$

Propriété 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
$H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$ si, et seulement si,
$$H\in d\quad\text{et}\quad (AH)\perp d$$
Cas particulier : Si $A\in d$, alors $H=A$ ; ce qui signifie que le projeté orthogonal sur $d$ d’un point $A$ de $d$, est égal au point $A$ lui-même.

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3. Positions relatives d’une droite et d’un cercle

Soit $A$ un point du plan et $r$ un nombre réel strictement positif ($r>0$).

Définition 1.
Soit ${\mathcal C}= {\mathcal C}(A;r)$ le cercle de centre $A$ et de rayon $r$. Soit $d$ une droite du plan. Et soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
On distingue trois positions dans le plan, du cercle ${\mathcal C}$ et de la droite $d$ :
1°) $AH<rayon$. La droite $d$ coupe le cercle ${\mathcal C}$ en deux points distincts $M$ et $N$. On dit que la droite est sécante au cercle. Fig. 2.
2°) $AH=rayon$. La droite $d$ coupe le cercle ${\mathcal C}$ en un unique point, le point $H$. On dit que la droite est tangente au cercle au point $H$. Fig. 3.
3°) $AH>rayon$. La droite $d$ n’admet aucun point commun avec le cercle ${\mathcal C}$. On dit que la droite et le cercle sont disjoints. Fig. 4.

4. Tangentes à un cercle

Définition 2.
Soit ${\mathcal C}$ un cercle de centre $A$ et de rayon $r$ et $H$ un point du cercle ${\mathcal C}$.
On appelle tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $H$, la droite $d$ passant par $H$ et perpendiculaire au rayon $[AH]$.

Théorème 1.
Soit ${\mathcal C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$
Si une droite $d$ coupe le cercle en un seul point $H$, alors $d$ est tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $H$ et $d$ est perpendiculaire au rayon $[AH]$.

Théorème 2.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur une droite $d$, alors la droite $d$ est tangente au cercle de centre $A$ et de rayon $r=AH$.

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5. Exercices résolus

Exercice 1.
Soit ${\mathcal C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$.
Soit $[EF]$ une corde du cercle ${\mathcal C}$ qui n’est pas un diamètre et $I$ le milieu de $[EF]$. La droite $(OI)$ coupe le cercle en deux points $A$ et $B$. On construit la droite $d$ passant par $B$ et parallèle à $(EF)$.
1°) Faire une figure
2°) Montrer que $(OI)$ est la médiatrice du segment $[EF]$.
3°) Démontrer que $d\perp (OI)$.
4°) En déduire que la droite $d$ est tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $B$.

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