Droites tangentes à un cercle

1. Distance d’un point à une droite

Définition 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
Le point $H$ de la droite $d$, le plus proche de $A$ est le pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$.
On appelle distance du point $A$ à la droite $d$ la longueur $AH$ égale à la plus courte distance entre $A$ et les points de $d$. On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\;\text{dist}(A;d)=AH\;}}$$ En particulier : $$\color{brown}{\boxed{\;\text{dist}(A;d)=0~\text{si, et seulement si}~A\in d\;}}$$

Fig. 1. $H\in d$ et $AH<AM$ pour tout point $M\in d$ et $M\not=H$.

2. Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition 2.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
Le point $H$ de $d$ le plus proche de $A$, ainsi construit, s’appelle aussi le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
Autrement dit : pour tout point $M$ de $d$, différent de $H$ : $$AH< AM$$

Propriété 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
$H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$ si, et seulement si,
$$H\in d\quad\text{et}\quad (AH)\perp d$$
Cas particulier : Si $A\in d$, alors $H=A$ ; ce qui signifie que le projeté orthogonal sur $d$ d’un point $A$ de $d$, est égal au point $A$ lui-même.


3. Positions relatives d’une droite et d’un cercle

Soit $A$ un point du plan et $r$ un nombre réel strictement positif ($r>0$).

Définition 1.
Soit ${\mathcal C}= {\mathcal C}(A;r)$ le cercle de centre $A$ et de rayon $r$. Soit $d$ une droite du plan. Et soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
On distingue trois positions dans le plan, du cercle ${\mathcal C}$ et de la droite $d$ :
1°) $AH<rayon$. La droite $d$ coupe le cercle ${\mathcal C}$ en deux points distincts $M$ et $N$. On dit que la droite est sécante au cercle. Fig. 2.
2°) $AH=rayon$. La droite $d$ coupe le cercle ${\mathcal C}$ en un unique point, le point $H$. On dit que la droite est tangente au cercle au point $H$. Fig. 3.
3°) $AH>rayon$. La droite $d$ n’admet aucun point commun avec le cercle ${\mathcal C}$. On dit que la droite et le cercle sont disjoints. Fig. 4.

Fig. 2. $AH<r$. La droite $d$ est sécante au cercle ${\mathcal C}$.
Fig. 3. $AH=r$. La droite $d$ est tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $H$.
Fig. 4. $AH>r$. La droite $d$ et le cercle ${\mathcal C}$ sont disjoints.

4. Tangentes à un cercle

Définition 2.
Soit ${\mathcal C}$ un cercle de centre $A$ et de rayon $r$ et $H$ un point du cercle ${\mathcal C}$.
On appelle tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $H$, la droite $d$ passant par $H$ et perpendiculaire au rayon $[AH]$.

Fig. 5. $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$

Théorème 1.
Soit ${\mathcal C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$
Si une droite $d$ coupe le cercle en un seul point $H$, alors $d$ est tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $H$ et $d$ est perpendiculaire au rayon $[AH]$.

Théorème 2.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur une droite $d$, alors la droite $d$ est tangente au cercle de centre $A$ et de rayon $r=AH$.


5. Exercices résolus

Exercice 1.
Soit ${\mathcal C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$.
Soit $[EF]$ une corde du cercle ${\mathcal C}$ qui n’est pas un diamètre et $I$ le milieu de $[EF]$. La droite $(OI)$ coupe le cercle en deux points $A$ et $B$. On construit la droite $d$ passant par $B$ et parallèle à $(EF)$.
1°) Faire une figure
2°) Montrer que $(OI)$ est la médiatrice du segment $[EF]$.
3°) Démontrer que $d\perp (OI)$.
4°) En déduire que la droite $d$ est tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $B$.

1°) Construction de la figure

2°) Montrons que $(OI)$ est la médiatrice du segment $[EF]$.
Tout d’abord, on sait que $E\in{\mathcal C}$ et $E\in{\mathcal C}$. Donc, $OE=OF=rayon$. DE plus $I$ est le milieu de $[EF]$. Donc : $IE=IF=rayon$. Par conséquent les deux points $O$ et $I$ sont équidistants de $E$ et $F$. Donc la droite $(OI)$ est bien la médiatrice du segment $[EF]$.

3°) Montrons que $d\perp (OI)$.
Par hypothèse, les droites $d$ et $(EF)$ sont parallèles et on sait que la droite $(OI)$ est perpendiculaire à $(EF)$.
Or, on sait que « si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Par conséquent : $$d\perp (OI)$$

4°) Montrons que la droite $d$ est tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $B$.
Par hypothèse, $B\in d$ et on vient de démontrer que $d$ est perpendiculaire à $(OI)$, donc $d$ est perpendiculaire au rayon $[OB]$.
Ce qui montre que $d$ est bien tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $B$.
$\blacktriangle$