Ensemble de définition d’une fonction numérique de la variable réelle


Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  9. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

1. Ensemble de définition d’une fonction numérique de la variable réelle.

Définitions 1.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion finie d’intervalles de $\R$.
Si tous les nombres réels dans $D$, ont une image par la fonction $f$, on dit que $D$ est le domaine de définition ou l’ensemble de définition de la fonction $f$ et on écrit : $D_f=D$. On a alors, pour tout $x\in\R$ :
$$x\in D_f \text{ (ssi) } f (x)\text{ existe et est unique}$$

Exemples

On considère les trois fonctions numériques de la variable réelle définies par :
1°) $f(x) = x^2+\dfrac{1}{x}$ ; 2°) $g(x) =2x\sqrt{x-1}$ et 3°) $h(x) =\dfrac{2x}{x-1}$.
Déterminer les ensembles de définition des fonctions $f$, $g$ et $h$.

Corrigé.
1°) $f(x) = x^2+\dfrac{1}{x}$
$\begin{array}{rcl}
x\in D_f &\text{(ssi)}& f(x)\; \text{existe}\\
&\text{(ssi)}&\text{le dénominateur ne s’annule pas}\\
&\text{(ssi)}&x\not=0\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $f$ est :
$$\color{brown}{\boxed{D_f=\R\setminus{0}\quad}}$$
ou encore $$\color{brown}{\boxed{D_f=\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[\quad}}$$

2°) $g(x) =2x\sqrt{x-1}$
$\begin{array}{rcl}
x\in D_g &\text{(ssi)}& g(x)\; \text{existe}\\
&\text{(ssi)}&\text{l’expression sous la racine carrée est positive ou nulle}\\
&\text{(ssi)}&x-1\geqslant 0\\
&\text{(ssi)}&x\geqslant 1\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $g$ est $$\color{brown}{\boxed{D_g=\left[1;+\infty\right[\quad}}$$

3°) $h(x) =\dfrac{2x}{x-1}$.
$\begin{array}{rcl}
x\in D_h &\text{(ssi)}& h(x)\; \text{existe}\\
&\text{(ssi)}&\text{l’expression sous la racine carrée est positive ou nulle}\\
& &\text{et le dénominateur doit être différent de 0.}\\
&\text{(ssi)}&x-1\geqslant 0\; \text{et}\;x-1\not=0\\
&\text{(ssi)}&x-1 > 0\\
&\text{(ssi)}&x >1\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $h$ est :
$$\color{brown}{\boxed{D_h=\left]1;+\infty\right[\quad}}$$

2. Conditions de définition d’une fonction

Lorsqu’on étudie une fonction, il est nécessaire de donner d’abord son domaine de définition $D_f$. On peut alors l’étudier sur tout intervalle $I$ contenu dans $D_f$.

Propriété 1.
On distingue deux conditions d’existence d’une fonction.

C1 : Une expression algébrique dans un dénominateur doit être différente de zéro ;
C2 : Une expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.

Les nombres réels qui ne vérifient pas l’une de ces deux conditions, s’appellent des valeurs interdites (v.i.) et doivent être exclues du domaine de définition.

D’autres conditions s’ajouteront en étudiant de nouvelles fonctions dans les classes supérieures.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2+5x-7$.

Cette fonction est définie pour tout nombre réel et n’admet aucune valeur interdite. Donc, $f$ ne pose aucun problème d’existence. Donc son domaine de définition est :
$$\color{brown}{\boxed{D_f=\R\quad}}$$

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Exercice résolu n°2. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$.

$\begin{array}{rcl}
x\in D_f &\text{(ssi)}& f(x)\; \text{existe}
&\text{(ssi)}&\text{le dénominateur ne s’annule pas}\\
&\text{(ssi)}&x-2\not=0\\
&\text{(ssi)}&x\not=2\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $f$ est : $$\color{brown}{\boxed{D_f=\R\setminus\{2\}\quad}}$$
ou encore $$\color{brown}{\boxed{D_f=\left]-\infty;2\right[\cup\left]2;+\infty\right[\quad}}$$

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Exercice résolu n°3. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\sqrt{2x+1}$.

$\begin{array}{rcl}
f(x)\; \text{existe} &\text{(ssi)}&\text{l’expression sous la racine carrée est positive ou nulle}\\
&\text{(ssi)}&2x+1\geqslant 0\\
&\text{(ssi)}&2x\geqslant -1\\
&\text{(ssi)}&x\geqslant\dfrac{-1}{2}\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $f$ est $$\color{brown}{\boxed{D_f=\left[\dfrac{-1}{2};+\infty\right[\quad}}$$

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Exercice résolu n°4. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{2x+1}}$.

$\begin{array}{rcl}
f(x)\; \text{existe} &\text{(ssi)}&\text{l’expression sous la racine carrée est positive ou nulle}\\
& &\text{et le dénominateur doit être différent de 0.}\\
&\text{(ssi)}&2x+1\geqslant 0\; \text{et}\;2x+1\not=0\\
&\text{(ssi)}&2x+1 > 0\\
&\text{(ssi)}&2x > -1\\
&\text{(ssi)}&x > \dfrac{-1}{2}\\
\end{array}$
Donc le domaine de définition de $f$ est :
$$\color{brown}{\boxed{D_f=\left]\dfrac{-1}{2};+\infty\right[\quad}}$$

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3. Exercices progressifs pour s’entraîner