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Carrés magiques : une méthode simple pour créer un carré magique mathématique de toute taille

Carré magique de Xi’an, sur une plaque de fonte, a été découvert en 1956 dans les ruines d’un palais de la banlieue de Xi’an : le Palais d’Anxi, fils de l’empereur mongol Qubilai (1215-1294), lui-même un petit-fils de Gengis Khan. (Extrait Bibnum).

Un carré magique d’ordre $n$ est un tableau carré composé de $n\times n = n^2$ nombres entiers strictement positifs qui se suivent ou non.
Ces nombres sont disposés de telle sorte que leurs sommes sur chaque ligne, sur chaque colonne et sur chaque diagonale (principale et non principale) soient égales à un même nombre appelé constante magique (ou densité) du carré magique.
Un carré de nombres est dit semi-magique, si les sommes des nombres sur chaque ligne et sur chaque colonne sont égales à la constante magique. Donc, la somme des nombres sur une diagonale (ou sur les deux) n’est pas nécessairement égale à la constante magique.

Un carré magique est dit normal ou normalisé, s’il est constitué de tous les nombres entiers de 1 à $n^2$, où $n$ est l’ordre du carré (Wikipedia).
Un carré magique d’ordre $n$ est dit trivial (ou évident) si tous ses nombres sont égaux à un même nombre entier strictement positif.

Exemples 1. Les carrés magiques d’ordres $1$ et d’ordre $2$ sont tous triviaux.

En effet, un carré magique d’ordre $1$, est un carré ayant une seule ligne et une seule colonne, donc une seule case $$C_1=\begin{array}{|c|} \hline a\\ \hline \end{array}$$ contenant n’importe quel nombre entier strictement positif $a$. Donc, il s’agit bien d’un carré magique trivial.

On considère un carré magique d’ordre $2$, avec en première ligne deux nombres strictement positifs $a$ et $b$ et en 2ème ligne deux nombres strictement positifs $c$ et $d$. On peut poser : $$C_2=\begin{array}{|c|c|} \hline a&b\\ \hline c&d\\ \hline \end{array}$$
Il existe un nombre entier $M$ tel que :
$a+b=c+d=M$, $a+c=b+d=M$ et $a+d=c+b=M$.
On en déduit en particulier que :

i) $a+c=b+c$, donc $\color{red}{a=b}$ ;
ii) $a+b=a+c$, donc $\color{red}{b=c}$ ;
iii) $a+c=a+d$, donc $\color{red}{a=d}$.

Ce qui montre que $\color{red}{a=b=c=d}$. Doù : $$C_2=\begin{array}{|c|c|} \hline
a&a\\ \hline
a&a\\ \hline
\end{array}\quad a>0$$

Exemples 2. Le carré de nombres défini par : $$C_3=\begin{array}{|c|c|} \hline
8&1&6\\ \hline
3&5&7\\ \hline
4&9&2\\ \hline
\end{array}$$ est un carré magique normal d’ordre $3$ (Faites le calcul). On démontre par ailleurs que c’est l’unique carré magique normal d’ordre $3$, aux permutations, rotations, symétries et réflexions près.

Propriétés 1.
1°) La constante magique du carré magique normal d’ordre $n$, ne dépend que de $n$ et est égale à $M = \dfrac{n(n^2+ 1)}{2}$.
2°) Addition et soustraction
La somme et la différence terme à terme de deux carrés magiques de même ordre $n$ est encore un carré magique de même ordre $n$.
3°) Multiplication par un nombre
Le produit de tous les termes d’un carré magique d’ordre $n$, par un même nombre strictement positif $k$, est encore un carré magique de même ordre $n$.
4°) Produit de deux carrés (semi-)magiques
Niveau Bac+1 ou supérieur : On peut identifier ces carrés de nombres à des matrices carrées d’ordre $n$ et définir la multiplication des carrés de nombres comme un produit matriciel dans ${\mathbb M}_n(\R)$, l’algèbre des matrices carrées d’ordre $n$ [Réf. EduKlub prépa]. Alors le produit de deux carrés semi-magiques est un carré semi-magique, mais ce résultat n’est plus vrai pour les carrés magiques. (Calculer $C_3\times C_3$ par exemple).

1°) Calcul de la constante magique d’un carré magique normal
Il suffit de calculer la somme des termes d’une ligne ou une colonne. Comme il y a $n$ lignes, il suffit de faire la somme des $n^2$ premier entier non nuls, puis diviser par $n$.

Or, on sait calculer $S=1+2+3+\cdots+n^2$. C’est la somme des $n^2$ termes d’une suite arithmétique de premier terme $1$ et de raison $1$.
$$S=\dfrac{\textrm{nb. de termes} \times (\textrm{premier}+ \textrm{dermier termes})}{2}$$
Ce qui donne : $$S=\dfrac{n^2(1+n^2)}{2}$$

Par conséquent, la valeur $M$ de la constante magique d’un carré magique normal est donnée par :
$$M=\dfrac{S}{n}=\dfrac{1}{n}\times\dfrac{n^2(1+n^2)}{2}$$
D’où : $$\color{red}{\boxed{\;M= \dfrac{n(n^2+1)}{2}\;}}$$

2°) Addition et soustraction
On considère deux carrés magiques $C$ et $C’$.
Si on calcule la somme (ou la différence) des termes de deux lignes, deux colonnes ou deux diagonales de même position, on obtient la somme (respectivement la différence) des deux constantes magiques. D’où le résultat.

3°) Multiplication de tous les termes d’un carré magique par un même nombre $k$
On considère un carré magique $C$ de constante magique $M$.
Si on multiplie tous les termes d’un carré magique par un même nombre $k$, toutes les lignes, les colonnes et les diagonales sont multipliées par le même nombre $k$. Donc, toutes les sommes des termes des lignes, des colonnes et des diagonales sont multipliées par le même nombre $k$. On obtient alors, un carré magique dont la constante magique est égale au produit de la constante magique de $C$, multipliée par $k$. D’où le résultat.

4°) Produit de deux carrés (semi-) magiques
La multiplication terme à terme des éléments de deux carrés magiques ne donne pas un carré magique. Par contre, on peut définir une « autre multiplication« , appelée produit matriciel. Imprimer l’énoncé de l’exercice de M. Jean-Michel Ferrard, (klubprepa.net) et faites l’exercice.

En quoi un carré magique est-il magique ?

Les carrés magiques ont beaucoup de propriétés et trouvent des applications très développées en mathématiques (l’article de Wikipedia est très riche sur ce domaine), mais également dans l’art, un carré magique était connu du peintre allemand Albrecht Dürer (1514), qui l’a inclus dans sa gravure Melencolia. La façade de la Passion de la basilique la Sagrada Familia (Œuvre inachevée de l’architecte Antoni Gaudi, commencée en 1882) à Barcelone, montre un carré magique d’ordre 4 sculpté par Josep Maria Subirachs. La constante magique correspond à 33, l’âge du Christ à sa mort.

Les carrés magiques trouvent également des application en astronomie. On a associé à chacune des planètes du système solaire un carré magique. Dans la magie, les carrés magiques ont été utilisés comme talismans de « protection » et de « dynamisation »,…Youtube.

Méthode simple pour créer un carré magique mathématique de toute taille

C’est en cherchant une documentation sur le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan (Le Prince de la théorie des nombres) que je suis tombé sur une vidéo d’une jeune indienne de 7 ans (#LearnWithDiva), sur les carrés magiques. Sa prestation m’a impressionné par la qualité de sa présentation, sa communication, sans compter le point de vue didactique et pédagogique.
Je vous laisse juger.
Je reviendrai plus tard pour compléter cet article en donnant les différentes méthodes de construction de carrés magiques et leur signification.

Voici un carré (plus que) magique donné par Srinivasa Ramanujan

Références

[1] « Carrés magiques (mathématiques)« , Wikipédia
[2] « Carrés magiques, Généralités« , Gérard Villemin
[3] « Matrices et carrés magiques, Énoncé« , Jean-Michel Ferrard, klubprepa.net
[4] « Le Carré magique Xi’an« , Jeux mathématiques, Bibnum.

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