Fiche de synthèse sur les puissances de 10

Cours : Calculs sur les puissances de 10

1. Les puissances de 10

Définition 1. $\boxed{\color{red}{ 10^0=1}}$ et $\boxed{ \color{red}{ 10^1=10}}$. Plus généralement, pour tout entier naturel non nul $ \color{bleu}{n}$, on a : $$\boxed{ \color{bleu}{10^{n}=\underbrace{ 10\times … \times 10}_{n \textrm{ facteurs}} }}$$ $$\boxed{\color{bleu}{10^n=\underbrace{10…0}_{\textrm{1 suivi de }n \textrm{ zéros}} }}$$

Définition 2. Un dixième = $\dfrac{1}{10}=0,01$ et un centième = $\dfrac{1}{100}=0,01$. Plus généralement, pour tout entier naturel non nul $ \color{bleu}{n}$, $$\boxed{ \color{bleu}{10^{-n}= \dfrac{1}{10^n} }}$$ $$\boxed{ \color{bleu}{10^{-n}=\underbrace{0,0…01}_{\textrm{1 précédé de }n \textrm{ zéros y compris celui avant la virgule}} }}$$

2. Propriétés des puissances de 10

Propriétés : Pour tous entiers relatifs $n$ et $p$ quelconques,
$(P_1)$ : $\color{bordeaux}{10^0=1}$ et $\color{ bordeaux }{ 10^1=10}$.
$(P_2)$ : $\color{bordeaux}{10^{n}\times 10^{p} = 10^{n+p}}$
$(P_3)$ : $\color{bordeaux}{10^{-n}= \dfrac{1}{10^n} }$
$(P_4)$ : $\color{bordeaux}{ \dfrac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}}$
$(P_5)$ : $\color{bordeaux}{ (10^n)^p = 10^{n\times p}}$
$(P_6)$ : Tout nombre décimal $N$ peut s’écrire d’une infinité de manières sous la forme : $\color{bordeaux}{N=a\times 10^p}$, où $a$ est un nombre décimal relatif et p est un entier relatif.

3. Notation scientifique

$(P_7)$ : Notation scientifique : Tout nombre décimal positif $N$ peut s’écrire d’une manière unique sous la forme : $\color{bordeaux}{N=a\times 10^p}$, où $a$ est un nombre décimal compris entre $1$ et $10$ ($1\leq a < 10$) et $p$ est un entier relatif.
Ceci signifie que $a$ est un nombre décimal ayant exactement un seul chiffre non nul AVANT la virgule.

3. Notation de l’ingénieur

Propriété $P_8$ : Tout nombre décimal positif $N$ peut s’écrire d’une manière unique sous la forme : $\color{bordeaux}{N=a\times 10^p}$, où $a$ est un nombre décimal compris entre $1$ et $1000$ ($1\leq a < 1000$) et $p$ est un entier relatif multiple de 3.

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