Définition des puissances de 10

Cours : Calculs avec les puissances de 10

1. Les puissances de 10

$\boxed{\color{red}{ 10^0=1}}$, (nous allons voir pourquoi) ;
$\boxed{ \color{red}{ 10^1=10}}$,
$\color{red}{10^2}=10\times 10 =100$,
$\color{red}{10^3}= 10\times 10\times 10=1000$,…etc, désignent les puissances entières de $10$.

Définition 1. Plus généralement, pour tout entier naturel non nul $ \color{bleu}{n}$, 10 (élevé) à la puissance $\color{bleu}{n}$, notée $ \color{bleu}{10^n}$ est définie par : $$\boxed{ \color{bleu}{10^{n}=\underbrace{ 10\times … \times 10}_{n \textrm{ facteurs}} }}$$ $n$ s’appelle l’exposant. $\color{bleu}{10^n}$ peut s’écrire également : $$\boxed{\color{bleu}{10^n=\underbrace{10…0}_{\textrm{1 suivi de }n \textrm{ zéros}} }}$$

Un dixième = $\dfrac{1}{10}$ est une fraction décimale qui s’écrit en ligne : $\dfrac{1}{10}=0,1$ revient à diviser l’unité en 10 petites unités notées $0,1$ qu’on note encore $ \boxed{ \color{red}{ 10^{-1}=0,1}}$.
Deux-dixièmes = $\dfrac{2}{10} = 2 \times\dfrac{1}{10}=0,2$ ;
Trois-dixièmes = $\dfrac{3}{10} = 3\times\dfrac{1}{10}=0,3$ ;… et ainsi de suite.

De même, un centième = $\dfrac{1}{100}$ est une fraction décimale qui s’écrit en ligne : $\dfrac{1}{100}=0,01$ revient à diviser l’unité en 100 plus petites unités notées $0,01$ qu’on note encore $ \boxed{ \color{red}{ 10^{-2}=0,01}}$.
Deux-centèmes = $\dfrac{2}{100} = 2\times\dfrac{1}{100}=0,02$ ;
Trois-centièmes = $\dfrac{3}{100} = 3\times\dfrac{1}{100}=0,03$ ;… et ainsi de suite.

Définition 2. Plus généralement, pour tout entier naturel non nul $ \color{bleu}{n}$, 10 (élevé) à la puissance $\color{bleu}{n}$, notée $ \color{bleu}{10^n}$ est définie par : $$\boxed{ \color{bleu}{10^{-n}= \dfrac{1}{10^n} }}$$
$\color{Bleu}{10^{-n}}$ peut s’écrire également : $$\boxed{ \color{bleu}{10^{-n}=\underbrace{0,0…01}_{\textrm{1 précédé de }n \textrm{ zéros y compris celui avant la virgule}} }}$$

2. Pourquoi $10^0=1$

RTrès souvent, on définit $\color{red}{10^0=1}$ comme une $\color{red}{convention}$. Écrivons quelques termes de la suite des puissances de 10 : $$\ldots 10^{-2}\rightarrow 10^{-1}\rightarrow 10^{0}\rightarrow 10^{1}\rightarrow 10^{2}\rightarrow \ldots, $$
puis écrivons la suite des valeurs des termes correspondants :
$$\ldots 0,01 \rightarrow 0,1 \rightarrow x \rightarrow 10 \rightarrow 100 \rightarrow \ldots$$
Il est clair que, pour passer d’une puissance de $10$ à la puissance suivante, on multiplie par $10$. On a alors pour tout entier relatif $n$ :
$$\boxed{ \color{red}{ 10^{n} \times 10 = 10^{n+1}} }$$
En particulier, on a : $10^{-1}\times 10=0,1\times10 = 1$.
Ce qui démontre que : $$\boxed{ \color{red}{10^0=1 }}$$
C’est une question qui a été posée à l’Oral du CAPES pour des enseignants !