4. Calcul vectoriel


Théorème 8.
Pour tous vecteurs $ \overrightarrow {u}$, $ \overrightarrow {v}$ et $ \overrightarrow {w}$ ; et tous nombres réels $a$ et $b$, on a les propriétés suivantes :
$P_1$ : On peut changer l’ordre des vecteurs, le résultat ne change pas.
$\qquad\overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v}= \overrightarrow {v}+ \overrightarrow {u}$.
$P_2$ : On peut faire des groupements, ou associations de vecteurs, le résultat ne change pas.
$\qquad( \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v})+ \overrightarrow {w}= \overrightarrow {u}+( \overrightarrow {v}+ \overrightarrow {w}$.
$P_3$ : Le vecteur nul $\overrightarrow {0}$ est neutre pour l’addition des vecteurs.
$ \qquad \overrightarrow {0}+ \overrightarrow {u}= \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {0}$.
$P_4$ : La somme de deux vecteurs opposés est égale au vecteur nul.
$ \qquad \overrightarrow {u}+(- \overrightarrow {u})=(- \overrightarrow {u})+ \overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}$.
$P_5$ : On distribue la multiplication côté nombres :
$ \qquad k( \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v})=k \overrightarrow {u}+k \overrightarrow {v}$.
$P_6$ : On distribue la multiplication côté vecteurs :
$ \qquad (a+b) \overrightarrow {u}=a \overrightarrow {u}+b \overrightarrow {u}$.
$P_7$ : Multiplications successives d’un vecteur par des nombres :
$ \qquad a(b \overrightarrow {u})=(a\times b) \overrightarrow {u}$.
$P_1$ : La multiplication par $1$ est neutre : $ \qquad 1 \overrightarrow {u}= \overrightarrow {u}$.

Exercices résolus


Exercice résolu n°2.
Calculer et écrire l’expression la plus réduite possible du vecteur $ \overrightarrow {V}$ : $$ \overrightarrow {V}=2 \overrightarrow {u}-3 \overrightarrow {v}+3( \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v}- \overrightarrow {w})-4 \overrightarrow {u}+5 \overrightarrow {w}$$

On a de l’exercice résolu n°2. $$\begin {array}{rcl}
\overrightarrow {V}&=&2 \overrightarrow {u}-3 \overrightarrow {v}+3( \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v}- \overrightarrow {w})-4 \overrightarrow {u}+5 \overrightarrow {w}\\
&=& 2 \overrightarrow {u}-3 \overrightarrow {v}+3 \overrightarrow {u}+3 \overrightarrow {v}-3 \overrightarrow {w}-4 \overrightarrow {u}+5 \overrightarrow {w}\\
&=& \color{brown}{2 \overrightarrow{u}+3\overrightarrow {u}-4 \overrightarrow {u}} \color{black}{-3 \overrightarrow {v}+3 \overrightarrow {v}} \color{blue}{-3 \overrightarrow {w}+5 \overrightarrow {w}}\\
&=& \color{brown}{(2+3-4) \overrightarrow {u}}+ \color{black}{ (-3+3) \overrightarrow {v}}+\color{blue}{(-3+5) \overrightarrow {w}}\\
\color{brown}{ \overrightarrow {V}}&\color{brown}{=}&\color{brown}{ \overrightarrow {u}+2 \overrightarrow {w}}\\
\end{array}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\; \overrightarrow {V}= \overrightarrow {u}+2 \overrightarrow {w}\;}}$.