Calcul vectoriel dans le plan

1. Propriétés des opérations sur les vecteurs

Nous avons défini deux opérations principale sur les vecteurs : l’addition et le multiplication par un nombre réel qu’on appelle la multiplication par un scalaire. Nous avons également défini la soustraction des vecteurs (comme opération secondaire). Ce qui revient à rajouter l’opposé. Il suffit donc de résumer toutes les propriétés des vecteurs concernant les deux opérations principales, à savoir l’addition et le multiplication. Le calcul vectoriel revient donc à du « calcul algébrique ordinaire » sans la division ni la multiplication de vecteurs entre eux.

Théorème 1. (Très important).
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ; et pour tous nombres réels $\alpha$ et $\beta$, on a les propriétés suivantes :
P1) $\quad\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}.\quad$ L’addition des vecteurs est commutative.
P2) $\quad(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}).\quad$ L’addition est associative.
P3) $\quad\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}.\quad$ Le vecteur $\vec{0}$ est « neutre » pour l’addition
P4) $\quad\vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{0}.\quad$ Tout vecteur admet un opposé.
P5) $\quad\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{u}.\quad$ On peut distribuer les scalaires.
P6) $\quad(\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}.\quad$ On peut distribuer les vecteurs.
P7) $\quad(\alpha\times\beta)\vec{u}=\alpha(\beta\vec{u}).\quad$ Multiplication successives par des scalaires
P8) $\quad1\times \vec{u}=\vec{u}.\quad$ Bien évidemment $1 \times x = x$.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Calculer et écrire l’expression la plus réduite possible du vecteur $\vec{V}$ : $$\vec{V}=2\vec{u}-3\vec{v}+3(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})-4\vec{u}+5\vec{w}$$

Pour simplifier cette expression, on peut distribuer les scalaires, changer l’ordre, regrouper des vecteurs de même nature et factoriser. En fin de compte, cela revient à faire du « calcul algébrique ordinaire » sans la division ni la multiplication de vecteurs entre eux.
\begin{array}{rcl}
\vec{V} &=&2\vec{u}-3\vec{v}+3(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})-4\vec{u}+5\vec{w}\\
&=& 2\vec{u}-3\vec{v}+3\vec{u}+3\vec{v}-3\vec{w}-4\vec{u}+5\vec{w}\\
&=& 2\vec{u}+3\vec{u}-4\vec{u}-3\vec{v} +3\vec{v}-3\vec{w}+5\vec{w}\\
&=& (2+3-4)\vec{u}+(-3+3)\vec{v}+(-3+5)\vec{w} \\
& & \textrm{On peut sauter l’étape ci-dessus et barrer directement}\\
&=& 2\vec{u}+3\vec{u}-4\vec{u}-3{\color{brown}{\!\!\! /}}\vec{v} +3{\color{brown}{\!\!\! /} }\vec{v}-3\vec{w}+5\vec{w}\\
&=& 1\vec{u}+\vec{0}+2\vec{w}\end{array}
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\;\vec{V}=\vec{u}+2\vec{w}\;\;}}$