Calcul de proportions de sous-populations disjointes

Exprimer une proportion de différentes manières

  1. Population de référence
  2. Calculer, appliquer une proportion
  3. Exprimer une fréquence de différentes manières (décimale, fractionnaire, pourcentage) ;
  4. Calculer un effectif connaissant une proportion
  5. Comparer deux effectifs et comparer deux proportions
  6. Réunion, intersection et proportions
  7. Présentation de proportions dans un tableau croisé
  8. Sous-populations disjointes
  9. Sous-populations contraires
  10. Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions.

8. Sous-populations disjointes

Définition 8.
On dit que deux sous-populations $A$ et $B$ d’une même population $E$ sont disjointes lorsque $A$ et $B$ n’ont aucun individu en commun. Donc : $\color{red}{\boxed{\;A\cap B=\emptyset\;}}$.

Par conséquent : $\color{red}{\boxed{\;n_{ A\cap B}=0\;}}$ et $\color{red}{\boxed{\; p_{ A\cap B}=0\;}}$.
Donc : $n_{ A\cup B}=n_A+n_B$ et $p_{ A\cup B}=p_A+p_B$.

Propriété 8.
Si deux sous-populations $A$ et $B$ d’une même population de référence sont disjointes, alors la proportion de leur réunion est donnée par : $$\color{red}{\boxed{\;n_{ A\cup B}=n_A+n_B\quad \text{et}\quad p_{ A\cup B}=p_A+p_B\; }}$$

Exercice résolu 8.
Une équipe de judo compte 40 personnes dont 10 adultes. Le groupe des jeunes est formé de 16 filles et 14 garçons.
1°) Calculer la proportion des garçons, des filles et des jeunes dans cette équipe.
2°) Que constatez-vous ? Pourquoi ?

Corrigé.
1°) La population de référence $E$ = l’ensemble de l’équipe de judo. Donc : $n_E=40$.
On pose : $F$ = le groupe des filles et $G$ = le groupe des garçons, alors :
$F\cup G$ = le groupe des jeunes.

Ce qui donne : $n_F=16$, $n_G=14$ et $n_{F\cup G}=30$ et $n_{F\cap G}=0$, puisque ces deux groupes sont disjoints.

On obtient ainsi :
$p_F=\dfrac{16}{40}= \dfrac{2}{5}= 0,40 =\dfrac{40}{100} =40\%$.
Conclusion 1. La proportion des filles dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_F=0,40}}$

$p_G=\dfrac{14}{40}= \dfrac{7}{20}= 0,35 = \dfrac{35}{100} =35\%$.
Conclusion 2. La proportion des garçons dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_G=0,35}}$

Ainsi, $p_{F\cup G}=\dfrac{30}{40}= \dfrac{3}{4}=0,75 = \dfrac{75}{100} =75\%$.
Conclusion 3. La proportion des jeunes dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{ p_{F\cup G} =0,75}}$.

2°) D’après le cours, on sait que : $p_{ F\cup G}=p_F+p_G-p_{ F\cap G}$.
Donc : $p_{ F\cap G}=p_F+p_G-p_{ F\cup G}=0,40+0,35-0,75=\color{brown}{0}$.
Conclusion 4. $\color{brown}{\boxed{ p_{F\cap G} =0}}$.

On constate en effet, que les deux sous-populations $F$ et $G$ n’ont aucun point commun, elles sont disjointes. Donc, on aurait pu appliquer directement la propriété n°8 ci-dessus.

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9. Cas particulier : Sous-population contraire

Définition 9.
Soit $E$ une population de référence et $A$ une sous-population. Les individus de $E$ qui n’appartiennent pas à la sous-population $A$ forment la sous-population contraire, notée $\overline{A}$.

Théorème.
La proportion de $\overline{A}$ dans $E$ est donnée par : $p_{\, \overline{A}}=1-p_A$.

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Exercice résolu 9.
Une équipe de judo compte 40 personnes dont 10 adultes. Le groupe des jeunes est formé de 16 filles et 14 garçons.
1°) Calculer la proportion des adultes dans cette équipe.
2°) En déduire la proportion des jeunes dans cette équipe.

Corrigé.
1°) La population de référence $E$ = l’ensemble de l’équipe de judo. Donc : $n_E=40$.
On pose : $A$ = le groupe des adultes et $J$ = le groupe des jeunes dans cette équipe.

Ce qui donne : $n_A=10$, La proportion des adultes est :
$p_A=\dfrac{10}{40}= \dfrac{1}{4}= 0,25 =\dfrac{25}{100} =25\%$.
Conclusion 1. La proportion des adultes dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_A=0,25}}$

2°) On peut procéder de deux manières :
1ère méthode. On calcule l’effectif de la sous-population des jeunes dans cette équipe.
$n_J=16+14=30$. La proportion des jeunes est :
$p_J=\dfrac{30}{40}= \dfrac{3}{4}= 0,75 = \dfrac{75}{100} =75\%$.
Conclusion 2. La proportion des jeunes dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_J=0,75}}$

2ème méthode. On constate que les jeunes forment la sous-population contraire du groupe des adultes dans cette équipe. La proportion des jeunes est :
$p_J=1-p_A=1-0,25 = 0,75 = \dfrac{75}{100} =75\%$.
Conclusion 2. La proportion des jeunes dans cette équipe est : $\color{brown}{\boxed{p_J=0,75}}$

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