Calcul de la médiane : polygone des effectifs cumulés croissants ou des fréquences cumulées croissantes

1.1. Calcul de la médiane avec le polygone des effectifs cumulés croissants

Propriété 1. (Très importante).
On considère une série statistique à une variable quantitative, dont les valeurs sont
groupées en $k$ classes $[x_0;x_1[$ ; $[x_1;x_2[$;$\ldots$ ; $[x_{k−1};x_k[$; affectées des effectifs
partiels $n_1$ , $n_2$,$\ldots$, $n_k$ ou des fréquences $f_1$, $f_2$, $\ldots$, $f_k$ respectivement
$\quad$1°) Si on construit le polygone des effectifs cumulés croissants (ECC), alors la médiane est la valeur qui correspond à $50\%$ de l’effectif total, c’est-à-dire $\dfrac{N}{2}$.
$\quad$2°) Si on construit le polygone des fréquences cumulées croissantes (FCC), alors
la médiane est la valeur qui correspond à une FCC${}=0,5$ ou FCC${}=50\%$.

Propriété 2. (Très importante).
$\quad$1°) La médiane d’une série statistique est égale à l’abscisse du point d’intersections du polygone des effectifs cumulés croissants et du polygone des effectifs cumulés décroissants.
$\quad$2°) La médiane d’une série statistique est égale à l’abscisse du point d’intersections du polygone des fréquences cumulées croissantes et du polygone des fréquences cumulées décroissantes.

2. Exemples modèles

Exercice résolu n°2.
L’accueil téléphonique d’une entreprise a reçu 120 appels entre 9h et 13h, répartis comme suit : $$\begin{array}{|l|5*{|c|}} \hline
\text{Tranche horaire} &\text{9h-10h} &\text{10h-11h} &\text{11h-12h} &\text{12h-13h} &\text{Total} \\ \hline
\text{Nombre d’appels} & 25 & 45 & 30 & 20 & 120\\ \hline \end{array}$$
On suppose que les appels sont uniformément répartis dans chaque tranche horaire.
$\quad$1°) Construire le polygone des effectifs cumulés croissants (ECC) de cette série.
$\quad$2°) Déterminer la médiane de la série par lecture graphique. Donner votre résultat en
heures et minutes.
$\quad$3°) Peut-on faire un calcul direct, en supposant que les appels sont uniformément répartis dans chaque tranche horaire.
$\quad$4°) Reprendre l’exercice en utilisant les fréquences cumulées croissantes.

Antécédent de 50% de l’effectif total

Corrigé.
1°) On calcule les Effectifs CC dans un tableau : $$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline
\text{Heure jusqu’à} &\text{9} &\text{10h} &\text{11h} &\text{12h} &\text{13h}\\ \hline
\text{Effectifs CC des appels}&0 & 25 & 70 & 100 & 120\\ \hline \end{array}$$
A $10$ heures, on n’a pas encore atteint la moitié de l’effectif total et à $11$ heures, on vient de le dépasser. Donc : $\boxed{\;\;Me∈[10,11]\;\;}$.
On dit que l’intervalle $[10;11]$ est la classe médiane de la série.

2°) L’effectif total est égal à $120$. Donc la moitié de l’effectif est égale à $60$.
Par lecture graphique. La médiane est l’antécédent de $60$. Ce qui donne environ : $$\boxed{\phantom{\dfrac{1}{2}}Me=10,8\;\;}$$
Pour convertir ce résultat en heures et minutes, on convertit les décimales en minutes en faisant un tableau de proportionnalité.
$1$ heure correspond à $60$ min. Donc $1$ min $=\dfrac{1}{60}~$h.
$0,8$ heure correspond à $x$ min.
On écrit l’égalité des produits en croix. Ce qui donne : $$x\times1=0,8\times60$$ On obtient $x=48$ minutes.
Conclusion. La médiane de cette série est égale à $$\boxed{\phantom{\dfrac{1}{2}}Me = 10~h~48~\text{min}\;\;}$$

Théorème de Thalès

3°) Pour déterminer la médiane par un calcul direct, on utilise le théorème de Thalès.
On pose $Me=m$. Dans le repère orthogonal $(O~;~I~;~J)$, on considère le triangle $ABC$ défini par les points $A$, $B$ et $C$ correspondant au ECC comme suit :
$$A(10 ; 25),\quad B(11 ; 70)\quad\text{et}\quad C(11 ; 25)$$
Le point $M$ qui correspond à la médiane a pour coordonnées :
$$M(m ; 60)\quad\text{et}\quad N(m ; 25)$$
Dans le triangle $ABC$, on a : $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles à l’axe des ordonnées.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a égalité des rapports :
$$\dfrac{AM}{AB} =\dfrac{AN}{AC} =\dfrac{MN}{BC}$$
Je garde les deux derniers rapports : $$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$
Ce qui donne : $$\dfrac{m−10}{11−10} = \dfrac{60−25}{70−25}$$
donc : $$\dfrac{m−10}{1} = \dfrac{35}{45}$$
Donc : $$m=10+\dfrac{35}{45}$$
ou encore : $$m= \dfrac{485}{45}=10,7777\ldots\approx10,8$$
Conclusion. La médiane de cette série est égale à $$\boxed{\;\;\phantom{\dfrac{1}{1}} Me\approx 10~h~48~\text{min}\;\;}$$
On retrouve une valeur exacte de la médiane qui, arrondie au dixième, donne la même
valeur que le résultat obtenu par lecture graphique ! Formidable !
CQFD.$\blacktriangle$

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